bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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逆写像1

以下の記事の続きを書く。

bananake-tai.hatenablog.com

まずは、演習の証明からする。

演習

  1. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
    $g\circ f$ が全射なら、 $g$ は全射であることを示せ。
  2. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
    $g\circ f$ が全射で、$g$ が単射ならば、$f$ は全射であることを示せ。

証明1

$g\circ f$ は全射なので、$\forall z\in Z\ ,\exists x\in X\ ;z=(g\circ f)(x)$
よって、$f(x)\in Y$ で $z=g(f(x))$ なので $g$ は全射である。

$\Box$

$f$ が全射とならない状況として以下の図をイメージしてもらいたい。

f:id:bananake-tai:20170401133726j:plain:w400

証明2

$y\in Y$ を1つ固定する。
$g(y)\in Z$ であり、 $g\circ f$ は全射なので、$\exists x\in X\ ;g(y)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$g$ は単射なので、$y=f(x)$
よって、$f$ は全射である。

$\Box$

今までは、全単や単射について、要素の個数や合成写像などに注目して性質を調べてきた。 全単射を考える理由として、もうひとつ重要なことがある。それは、逆写像というものを考えられるということである。 逆写像を形式的に導入していく。

命題1

$f:X\to Y$ とする。次の3つが成立する。
1. $\exists g:y\to X\; f\circ g=1_Y\Rightarrow f$ は全射である。
2. $f$ は単射である。$\Leftrightarrow \exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X$
3. $f$ は全単射である。$\Leftrightarrow \exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X$ かつ $f\circ g=1_Y$

証明1

$\forall y\in Y$ を1つ固定する。
$f\circ g$ は $Y$ 上の恒等写像なので、$(f\circ g)(y)=y$
よって、$g(y)\in Y$ で $f(g(y))=y$ なので、$f$ は全射である。

$\Box$

証明2

$(\Rightarrow)$
$f$ は単射なので、$\forall y'\in f(X)\ ,\exists 1x\in X\ ;y'=f(x)$
$\forall x_0\in X$ を1つ固定する。
$g:Y\to X$ を次のように定める。

$$ \begin{align} g(y)= \left\{ \begin{array}{l} x&(y\in f(X)\Leftrightarrow \exists 1x\in X\ ;y=f(x)) \\ x_0& (y\in Y-f(X)) \end{array} \right. \end{align} $$

よって、$g(f(x))=x$ なので、 $g\circ f=1_X$ である。

上記の証明で定義した写像 $g$ のイメージは以下の図ようなものである。

f:id:bananake-tai:20170402154705j:plain:w400

$(\Leftarrow)$
$\forall x,x'\in X$ に対して、$f(x)=f(x')$ とする。
今、$\exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X$ なので、 $$ \begin{align} f(x)=f(x')&\Leftrightarrow (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')\\ &\Leftrightarrow x=x' \end{align} $$ よって、$f$ は単射である。

$\Box$

証明3

$(\Rightarrow)$
$f$ は全単射なので、$\forall y\in Y\ ,\exists 1x\in X\ ;y=f(x)$
このような $x$ に対し、$g:Y\to X$ を $g(y)=x$ と定める。
すなわち、$(f\circ g)(y)=f(g(y))=y$
また、$g$ の定め方より、$(g\circ f)(x)=x$
よって、$g\circ f=1_X$ と $f\circ g=1_Y$ が成立する。

$(\Leftarrow)$
命題1.1と1.2より明らかである。

$\Box$

命題1より次の系を得る。

系1

$f:X\to Y$ を全単射とする。 このとき、
$\exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X$ かつ $f\circ g=1_Y$ なる $g$ は全単射である。

証明

命題1.3に関して、$f$ と $g$ を入れ替えればよい。

$\Box$

定義(逆写像1)

$f:X\to Y$ を全単射とする。
系1により定められた $g$ を逆写像といい、$f^{-1}$ と表す。

さらに、逆写像は一意に定まる。これは演習とする。 以上のように逆写像を定義すると少しわかりにくいが、命題1.3の $g$ の構成方法から以下のように逆写像しても同じことが言える。

定義(逆写像2)

$f:X\to Y$ を全単射とする。
つまり、次の性質を満たす。 $$ \forall y\in Y\ ,\exists 1x\in X\ ;y=f(x) $$ これは、$g:Y\to X$ という写像が存在することを示している。 この、写像 $g$ を逆写像といい、$f^{-1}$ と表す。
直積の部分集合で表せば、 $$ g=\{(f(x),x)\mid x\in X\} $$ ということである。

こちらの定義の方がわかりやすいと思う。本当に定義2の逆写像と定義1の逆写像が同値になるかを調べるのは次回にする。

演習

  1. 写像の定義1で逆写像の一意性を証明せよ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.

区分求積法1

今回は厳密にはやらないで、高校数学の範囲で区分求積法をお話する。

ある図形の面積を求めるには、どうしたらよいのだろうか。長方形や三角形を組み合わせてできる図形なら求まりそうだが、 曲がっている図形の面積を求めるのは難しそうである。たとえば、円の面積を求めることはなかなか難しい。 そこで、でてきた考え方がある領域を細かく長方形に分割して足し合わせるという考え方である。これが、積分の原点である。 以下の図のようなイメージである。

f:id:bananake-tai:20170402012650j:plain:w400

もっと、長方形を細かくしていったら、なんとなく曲線で囲まれた図形の面積がでそうである。 では、一般に関数と $x$ 軸で囲まれた面積を長方形で近似してみる。
$f(x)=x^{2}$ と区間 $[0,1]$ で囲まれた面積を考える。つまり、以下の図の面積を求める。

f:id:bananake-tai:20170402013418j:plain:w400

まず、区間 $[0,1]$ を $n$ 等分する。 イメージとしては以下のようなことをおこなう。

f:id:bananake-tai:20170402012713j:plain:w400

斜線部の面積の合計 $S_n$ は、


\begin{eqnarray}
S_n&=&\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{k}{n}\right)^2\\\
&=&\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2 \\\
&=&\frac{1}{n^3}\cdot \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) \\\
&=&\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)
\end{eqnarray}

である。
もっと、区間の分割の幅を小さくしたら求めたい面積に近づきそうである。つまり、分割の幅 $n$ を $\infty$ にする。すなわち、 $$ \lim_{n\to \infty}S_n=\frac{1}{3} $$

となり、極限を考えたらある一定値になった。実はこの値は、$f(x)=x^{2}$ を $0$ から $1$ まで積分した値と見事に一致する。すなわち、 $$ \int_{0}^{1}x^{2}=\frac{1}{3} $$ となる。 これは、偶然なのだろうか。次に、同じ関数で足し合わせる高さを変えて、求めたい面積よりも大きく面積を近似する。
つまり、以下の図のように面積を求める。

f:id:bananake-tai:20170402012733j:plain:w400

斜線部の面積の合計 $T_n$ は、


\begin{eqnarray}
T_n&=&\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{k}{n}\right)^2\\\
&=&\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 \\\
&=&\frac{1}{n^3}\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\\
&=&\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)
\end{eqnarray}

となる。同様に、$T_n$ の極限を求めてみると、 $$ \lim_{n\to \infty}T_n=\frac{1}{3} $$ となる。先ほどよりも、大きく面積を近似したはずなのに分割を細かくしてみると、極限値は一致してしまう。よって、以下の関係が成り立つ。


\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1}x^{2}=\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to \infty}T_n=\frac{1}{3}
\end{eqnarray}

高校数学の範囲では、積分をこのように細かく分割して足し合わせるものとしてとらえていないので不思議である。実は大学ではこれと似た方法で積分を定義するので、 大学で積分論を学んでいる人にとったら、当たり前なのである。

次回は、この考え方を用いて、高校で習う区分求積法へ一般化する。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

小平邦彦, 解析入門Ⅰ, 岩波書店, 2015.
大島 利雄, 数学Ⅲ, 数研出版, 2013.
チャート研究所, 基礎からの数学Ⅲ, 2014.

全射と単射2

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com

演習

  1. $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、次の $(1),(2)$ は同値である。
    $(1)\ f$ は全射である。
    $(2)\ B\subset Y\Rightarrow f\left(f^{-1}(B)\right)=B$
  1. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。このとき、$f,g$ がともに単射ならば、$g\circ f$ も単射であることを示せ。

証明1

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
すでに、$「f\left(f^{-1}(B)\right)\subset B」$ は示したので、$「f\left(f^{-1}(B)\right)\supset B 」$ を示す。
$\forall \in B$ を1つ固定する。
$g$ は全射なので、$\exists x\in X\ ;y=f(x)$
$f(x)\in B$ なので、$x\in f^{-1}(B)$
よって、$f(x)\in f\left(f^{-1}(B)\right)$
したがって、$y\in f\left(f^{-1}(B)\right)$ なので、$f\left(f^{-1}(B)\right)\supset B$
すなわち、$f\left(f^{-1}(B)\right)=B$ である。

$\underline{(1)\Leftarrow (2)}$
$\forall y\in Y$ を1つ固定する。
$B=\{y\}$ とすると、$B\subset Y$ なので、仮定より、$f\left(f^{-1}(\{y\})\right)=\{y\}$
また、$y\in f\left(f^{-1}(B)\right)$ なので、$\exists x\in f^{-1}(B)\ ;y=f(x)$
特に、$x\in X$ でもあるので、$f$ は全射である。

$\Box$

証明2

$\forall x,x'\in X$ を1つ固定する。
$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(z')$ とする。
今、$g(f(x))=g(f(x'))$ であり、$f(x),f(x')\in Y$
$g$ は単射なので、$f(x)=f(x')$
また、$f$ は単射なので、$x=x'$
よって、$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(z')\Rightarrow x=x'$ なので $g\circ f$ は単射である。

$\Box$

合成写像に関しての全射性や単射性の考察を続けていく。
上記の演習で証明したが、$f,g$ が単射のとき、$g\circ f$ は単射であったが、$g\circ f$ が単射のとき $f,g$ はともに単射になるのだろうか。 これは、一般的には成り立たない。ただし、$f$ は単射にならなければならない。

命題1

$f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
$g\circ f$ が単射なら $f$ は単射である。

証明

$\forall x,x'\in X$ を1つずつ固定する。   $$ \begin{align} x\neq x' &\Rightarrow (g\circ f)(x)\neq (g\circ f)(x')\\ &\Rightarrow g(f(x))\neq g(f(x'))\\ &\Rightarrow f(x)\neq f(x') \end{align} $$ よって、$f$ は単射である。

$\Box$

$g$ 単射にならない状況として以下の図がイメージできる。

f:id:bananake-tai:20170401133217j:plain:w400

一般的に、$g\circ f$ が全射のときにも $f,g$ はともに全射になるはならない。これは演習とする。
では、$g\circ f$ が単射であるとき、$g$ が単射になるときはどんなときであろうか。

命題2

$f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
$g\circ f$ が単射で、$f$ が全射ならば、$g$ は単射である。

証明

$\forall y,y'\in Y$ を1つずつ固定し、$g(y)=g(y')$ とする。
$f$ は全射なので、$\exists x,x'\in X\ ;y=f(x)\ ,y'=f(x')$
また、$g\circ f$ は単射なので、 $$ \begin{align} g(f(x))=g(f(x'))&\Rightarrow x=x'\\ &\Rightarrow f(x)=f(x')\\ &\Leftrightarrow y=y' \end{align} $$ よって、$g$ は単射である。

$\Box$

要素の数が等しい有限集合に関しては全射単射が同値になることは図に書けば当たり前のように思えるが、厳密に証明しようとすると結構難しい。 数学では、当たり前と思えると思うものほど証明が難しいものである。証明を厳密化するのは今後すこしずつやるとして、大まかな流れを説明する。

命題3

$X,Y$ を有限集合とし、$|X|=|Y|$ とする。このとき、$g:X\to Y$ に対し、次の $(1),(2)$ は同値である。
$(1)\ g$ が単射である
$(2)\ g$ が全射である

証明

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
$f$ は単射なので、$|f(X)|=|X|$
$|X|=|Y|$ なので、$|f(X)|=|Y|$
よって、$f(X)\subset Y$ なので、$f(X)=Y$ となり、$f$ は全射である。

$\underline{(2)\Rightarrow (1)}$
$g$ は全射なので、$\forall y\in Y\ ,\exists x\in X\ ;y=g(x)$
したがって、$\forall y\in Y$ に対し、$x\in X$ を1つ選んで固定できる。
ここで、$f:Y\to X$ を $y\mapsto x$ によって定義する。
$(g\circ f)(y)=g(f(y))=y$ となるので、$g\circ f$ は $Y$ 上の恒等写像になる。
よって、$g\circ f$ は単射なので、命題1より、$f$ は単射である。
また、$(1)$ より、$f$ は全射である。
よって、命題2より $g$ は単射である。

$\Box$

注意しておくと、$(2)\Rightarrow (1)$ は大丈夫だが、$(1)\Rightarrow (2)$ は多々厳密でないところがある。

今までは、有限集合を中心に要素の多い少ないで全射単射をとらえていたが、無限集合の場合も同様に考えていいのだろうか。

$(\{0\}\cup \mathbb{N})=N$ とおき、$f:N\to \mathbb{N}$ を考える。
このとき、要素の個数としては感覚的には $\mathbb{N}$ より $N$ の方が多いと思う。なので、単射構成できないのではないかと思うが以下のようにして単射構成できるのである。
$m\mapsto m+1$ という対応を考えると、 $$ f=\{(m,m+1)\mid m\in N\}\subset N\times \mathbb{N} $$ なので、これはきちんと写像になっていて、さらに、$\forall m,m'\in N$ に対して、 $$ m+1=m'+1\Rightarrow m=m' $$ なので、単射である。
このように、無限集合の場合は有限集合の場合と変わってくるので注意が必要である。

演習

  1. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
    $g\circ f$ が全射なら、 $g$ は全射であることを示せ。
  2. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
    $g\circ f$ が全射で、 $g$ がが単射ならば、$f$ は全射であることを示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
http://www.math.tohoku.ac.jp/~ishida/group13/group131014.pdf
yoshiiz.blog129.fc2.com

調和級数の発散

今回は、調和級数というについてかく。
調和級数とは以下のように $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots $$ と永遠に逆数を足し続ける級数である。高校でならったシグマの式で表すと、調和級数は $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $$ と表せる。
さて、この級数はある値に収束するのだろうか、それとも発散するのだろうか。いったん、具体的に数値を見てみる。

n $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
$10$ 2.8289
$10^{3}$ 7.4844
$10^{5}$ 12.0901
$10^{7}$ 16.6953

どんどん、足す数は小さくなっているので収束しそうに思えるが、合計としてはどんどん増えていっているようにみえる。実際、この級数は発散してしまう。では、まずは少しゆるくそれを証明する。

命題

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty $$

証明(簡易)

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots \\ &=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots \\ &>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots \\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdots \end{align} $$ よって、調和級数は発散する。

これを、もう少し厳密に証明する。

証明(厳密)

$\forall k\in \mathbb{N}$ に対して、 $$ \begin{align} \sum_{n=2^{k}+1}^{n=2^{k+1}}\frac{1}{n}&=\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}\\ &>\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}\\ &=\frac{2^{k}}{2^{k+1}}\\ &=\frac{1}{2} \end{align} $$ となる。$\forall m\in \mathbb{N}$ を1つ固定する。


\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}&=&1+\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{m-1}\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n}\\\
&\geq&1+\frac{m}{2}\to \infty \   (m\to \infty)
\end{eqnarray}

よって、発散することが分かった。

調和級数の発散を証明する方法はほかにもあるので色々試してほしい。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

小平邦彦, 解析入門Ⅰ, 岩波書店, 2015.

全射と単射

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com

まずは、演習の解答からする。

演習

  1. 一般的には、$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ は成立しない。成立していない状況を図で表せ。
  2. $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、
    $f\left(f^{-1}(B)\right)\subset B$ を示せ。

説明1

以下の図のようなイメージができていれば良いと思う。また、具体的にイコールにならない写像を構成してもよい。

f:id:bananake-tai:20170330130917j:plain:w500

つまり、$A-B$ の元と $B-A$ の元で行き先が同じ元があるということである。

証明2

$$ \begin{align} y\in f\left(f^{-1}(B)\right)&\Leftrightarrow \exists x\in f^{-1}(B)\ ;y=f(x)\\ &\Leftrightarrow f(x)\in B\\ &\Rightarrow y\in B \end{align} $$ よって、$f\left(f^{-1}(B)\right)\subset B$

$\Box$

これも、一般的にはイコールが成立しない。図で表すと以下のようなことが起こっている。

f:id:bananake-tai:20170527181714j:plain:w400

つまり、$X$ の元から飛んできていない $B$ の元があるということである。

上の例や前の練習問題でもみたように、行き先が被ると都合が悪いときがある。そのようなものを除くために次の定義をする。

定義(単射

$f:X\to Y$ とする。
$f$ が単射である
$\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$ $\forall x,x'\in X\ (x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x'))$
$\Leftrightarrow \forall x,x'\in X\ (f(x)=f(x')\Rightarrow x=x')$

つまり、単射という性質は、行き先が被らないということである。

どのようなときに単射がつくれるかを集合の要素の数に着目して調べる。

例1

まずは、集合の要素が同じ場合を考える。
$X=\{1,2,3\},Y=\{a,b,c\}$ とする。
以下の図のように写像を定めれば単射は作れる。

f:id:bananake-tai:20170330131036j:plain:w400

例2

今度は、定義域の集合の要素の方が少ない場合を考える。
$X=\{1,2\},Y=\{a,b,c\}$ とする。
以下の図のように写像を定めれば単射は作れる。

f:id:bananake-tai:20170330131056j:plain:w400

例3

最後に、定義域の集合の要素の方が多い場合を考える。
$X=\{1,2,3,4\},Y=\{a,b,c\}$ とする。
どのような対応を考えても単射はつくれない。

f:id:bananake-tai:20170330131047j:plain:w400

この考察から、単射がつくれるのは、定義域の要素のほうが値域より少ない場合につくれることが分かった。

前回の記事の演習で説明したとおり、一般的には $f^{-1}(f(A))=A$ は成立しないのであった。イコールの成り立たなさは、行き先が同じ元が存在することにあった。 単射ならイコールが成立すると考えられる。よって、次の命題が成立する。

命題

$f:X\to Y$ とし、$A\subset X$ とする。このとき、次の $(1),(2)$ は同値である。
$(1)\ f$ は単射である。
$(2)\ f^{-1}(f(A))=A$

証明

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
すでに、$「f^{-1}(f(A))\supset A 」$ は示したので、$「f^{-1}(f(A))\subset A 」$ を示す。
$$ \begin{align} x\in f^{-1}(f(A))&\Leftrightarrow f(x)\in f(A)\\ &\Rightarrow \exists x'\in A\ ;f(x)=f(x') \end{align} $$ $f$ は単射なので、$x=x'$ である。よって、$x\in A$ なので、$f^{-1}(f(A))\subset A$ が成立する。
すなわち、$f^{-1}(f(A))=A$ である。

$\underline{(1)\Leftarrow (2)}$
$\forall x,x'\in X$ に対し、$f(x)=f(x')$ とする。
$A=\{x\} ,\{x'\}$ とすると、$A\subset X$ なので、仮定より、
$f^{-1}(f(\{x\}))=\{x\}$ かつ $f^{-1}(f(\{x'\}))=\{x'\}$ である。
また、$f(x)=f(x')$ なので、$\{x\} =\{x'\}$ である。よって、$x=x'$ なので $f$ は単射である。

$\Box$

次に、全射という性質について定義する。

定義(全射

$f:X\to Y$ とする。
$f$ が全射である
$\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$ $f(X)=Y$
$\Leftrightarrow \forall y\in Y\ ,\exists x\in X\ ;y=f(x)$

これはどういう性質かというと、すべての $Y$ の元に $X$ の元が飛んできているということである。
なぜこのような性質を考えるかというと、たとえば、演習で $f\left(f^{-1}(B)\right)\subset B$ を証明したと思うが、これも一般的にはイコールは成り立たない。 イコールの成り立たなさは何だったかというと、$X$ の元から飛んできていない $B$ の元があるということであった。つまり、全射ならイコールが成り立ちそうである。これは演習とする。

単射と同様どのようなときに全射がつくれるかを集合の要素の数に着目して調べる。

例4

まずは、集合の要素が同じ場合を考える。
$X=\{1,2,3\},Y=\{a,b,c\}$ とする。
以下の図のように写像を定めれ全射は作れる。

f:id:bananake-tai:20170330131056j:plain:w400

例5

今度は、定義域の集合の要素の方が多い場合を考える。
$X=\{1,2,3,4\},Y=\{a,b,c\}$ とする。
以下の図のように写像を定めれば全射は作れる。

f:id:bananake-tai:20170330131047j:plain:w400

例6

最後に、定義域の集合の要素の方が少ない場合を考える。
$X=\{1,2,3\},Y=\{a,b,c,d\}$ とする。
どのような対応を考えて全射はつくれない。

f:id:bananake-tai:20170330131056j:plain:w400

この考察から、全射がつくれるのは、定義域の要素のほうが値域より多い場合につくれることが分かった。

これで、全射単射の性質はなんとなくわかっていただけたと思う。自分で、色々な写像の例を作ってほしい。

定義(全単射

$f:X\to Y$ とする。
$f$ が単射かつ全射であるとき、$f$ を全単射であるという。

次は、合成写像に関しての単射全射を調べる。

命題

$f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。このとき、$f,g$ がともに全射ならば、$g\circ f$ も全射である。

証明

$\forall z\in Z$ を1つ固定する。
$g$ は全射なので、$\exists y\in Y\ ;z=g(y)$
また、$f$ も全射なので、$\exists x\in X\ ;y=f(x)$
よって、$z=g(y)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x)$
したがって、$g\circ f$ は全射である。

証明は以下の図のようなことを行っている。

f:id:bananake-tai:20170330131306j:plain:w500

つまり、図の $6\in Z$ には $3\in X$ が対応するということである。
これは、単射についても成立するが、演習とする。

演習

  1. $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、次の $(1),(2)$ は同値である。
    $(1)\ f$ は全射である。
    $(2)\ B\subset Y\Rightarrow f\left(f^{-1}(B)\right)=B$
  2. $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。このとき、$f,g$ がともに単射ならば、$g\circ f$ も単射であることを示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 2013.
雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.

合成写像と写像の制限

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com

まずは演習の証明からする。

演習

  1. 空集合の部分集合は空集合のみであることを示せ。
  2. $f:X\to Y$ $A,B\subset X$ とする。
    2.1 $f^{-1}(f(A))\supset A$ を示せ。
    2.2 $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ を示せ。

証明1

つまり、$「A\subset \varnothing \Rightarrow A=\varnothing」$ を示す。
$A\neq \varnothing$ とする。
$x\in A \Rightarrow x\in \varnothing$ は仮定は真で結論が偽なので、偽となる。
よって、$A\subset \varnothing \Rightarrow A=\varnothing$ は仮定が偽なので、真となる。
すなわち、空集合の部分集合は空集合のみである。

$\Box$

証明2.1

$$ \begin{align} x\in A &\Rightarrow f(x)\in f(A)\\ &\Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(f(A)\right) \end{align} $$ よって、$f^{-1}(f(A))\supset A$

$\Box$

ここで注意していただきたいのは、$f^{-1}(f(A))=A$ とはならないということである。
イメージ的には以下の図のようなことが起こっている。

f:id:bananake-tai:20170527190106j:plain:w400

つまり、$X-A$ の元で $f(A)$ に写る元があるということである。

実際の例をあげると、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f(x)=x^{2}$ と定める。$A=\{2,3\}$ とすると $f(A)={4,9}$ なので $f^{-1}\left(f(A)\right)=\{\pm 2,\pm3\}$ となる。 よって、$f^{-1}\left(f(A)\right)\not\subset A$ となって、イコールは成り立たない。

2.2は証明は2つの証明方法を紹介する。

証明2.2(1)

$$ \begin{align} y\in f(A\cap B)&\Leftrightarrow \exists x\in A\cap B\ ;y=f(x)\\ &\Leftrightarrow x\in A\land x\in B\\ &\Leftrightarrow f(x)\in f(A)\land f(x)\in f(B)\\ &\Leftrightarrow f(x)\in f(A)\cap f(B)\\ &\Rightarrow y\in f(A)\cap f(B) \end{align} $$ よって、$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

$\Box$

証明2.2(2)

$A\cap B\subset A$ なので $f(A\cap B)\subset f(A)$ である。また、$A\cap B\subset B$ なので $f(A\cap B)\subset f(B)$ である。
よって、 $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ が成立する。

$\Box$

これも、一般的にはイコールは成り立たない。つまり、$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ は成立しない。成立しないときどのような状況になっているのか 上記のように自分で図を使って示してほしい。これは演習とする。

高校数学で合成関数というのを習ったと思う。簡単にかくと $g\left(f(x)\right)$ のようなものである。これをきちんと定義する。

定義(合成関数)

$f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。
$g\circ f:X\to Z$ を $$ (g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right) $$ と定義した写像を $f$ と $g$ の合成写像という。部分集合としてかくなら、 $$ g\circ f=\{(x,z)\in X\times Z\mid (f(x),z)\in g\} $$ である。

いくつか合成写像に関してのイメージ図を載せる。まずは、具体的な行き先が指定されている図である。

f:id:bananake-tai:20170330125919j:plain:w500

簡単なイメージだと以下のような図を考えていただければわかりやすいと思う。

f:id:bananake-tai:20170330125955j:plain:w500

部分集合としてイメージするなら、私は以下の図のように考えるとよいと思う。3次元になってしまい少しわかりにくいかもしれないが。。。

f:id:bananake-tai:20170330130158j:plain:w400

合成写像のみたす良い性質として次の定理がある。

定理

$f:X\to Y,g:Y\to Z,h:Z\to W$ とする。このとき、 $$ h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f $$ が成立する。

証明

$\forall x\in X$ とする。
$$ \left(h\circ (g\circ f)\right)(x)=h\left((g\circ f)(x)\right)=h\left(g\left(f(x)\right)\right)\\ ((h\circ g)\circ f)(x)=h\circ g\left(f(x)\right) =h\left(g\left(f(x)\right)\right) $$ よって、$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ である。

定義(包含写像

$A\subset X$ とする。
$i:A\to X$ を $i(a)=a$ と定義した写像を $X$ に対する $A$ の包含写像という。

包含写像とは、以下の図のようなイメージである。

f:id:bananake-tai:20170328213129j:plain:w400

定義(制限)

$f:X\to Y$ とし、$A\subset X$ とする。
$f|_A:X\to Y$ を$f|_A(a)=f(a)$ で定義した写像を、$f$ の $A$ への制限という。
また、$f$ は $f|_A$ の $A$ への延長であるという。 つまり、$f|_A=f\circ i$ である。

制限とは、以下の図のようなイメージである。

f:id:bananake-tai:20170328225215j:plain:w400

演習

  1. 一般的には、$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ は成立しない。成立していない状況を図で示せ。
  2. $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、
    $f\left(f^{-1}(B)\right)\subset B$ を示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 2013.
雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015. http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Labo/Notes/2010/3rd/0607.pdf

像と逆像

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com

写像の例で重要な例を3つ述べる。

例(定値写像

$X,Y$ を集合とする。$y_0\in Y$ を1つ固定する。$f:X\to Y$ を $x\longmapsto y_0$ と定義する。 この写像を $X$ から $Y$ への定値写像という。イメージ図を2つ載せておくので、分かりやすい方でイメージもらいたい。

f:id:bananake-tai:20170327160025j:plain:w300

これは定義通り部分集合でイメージした図である。全部同じ元に写るので、写り先を表すと直線になる。

f:id:bananake-tai:20170327160234j:plain:w300

こちらのほうは、写った元が一点へつぶれているという感じを強く表した図である。

例(恒等写像

$X$ を集合とする。$1_X:X\to Y$ を $x\longmapsto x$ と定義する。 この写像を $X$ 上の恒等写像という。$1_X$ を $id_X$ ともかく。

例(空写像

定義域が空集合写像は存在するかどうかを考えていきたい。
$X=\varnothing$ とする。$X\times Y=\varnothing$ であり、$f=\varnothing$ とすると、$f\subset X\times Y$ である。 これで定義域が空集合写像が存在することがいえた。この写像を空写像という。また、空写像の一意性も言える。なぜなら、 空集合の部分集合は空集合のみなので $f\subset X\times Y$ とすると $f=\varnothing$ である。
空集合の部分集合が空集合のみというのは演習にしたい。

写像に関する定義を続ける。

定義(像)

$f:X\to Y$
$A\subset X$ とする。 $$ \{f(x)\mid x\in A\} $$ を $f$ による $A$ の像といい、$f(A)$ で表す。つまり、 $$ y\in f(A)\Leftrightarrow \exists x\in A;y=f(x) $$ である。

また、$A=\{a\}$ のとき、$f(\{a\})$ と $f(a)$ を同一視することもあるが、厳密には、$f(\{a\})$ は $\{f(a)\}$ のことである。

像とは以下の図のようなイメージである。

f:id:bananake-tai:20170327155646j:plain:w400

練習問題

$f:X\to Y$
$A,B\subset X$ とする。このとき、 $$ A\subset B \Rightarrow f(A)\subset f(B) $$ を示せ。

証明

$$ \begin{align} x\in f(A)&\Leftrightarrow \exists x\in A;y=f(x)\\ &\Rightarrow \exists x\in B;y=f(x)\\ &\Leftrightarrow x\in f(B) \end{align} $$

$\Box$

定義(逆像)

$f:X\to Y$
$B\subset Y$ とする。 $$ \{x\in X\mid f(x)\in B\} $$ を $f$ による $B$ の逆像といい、$f^{-1}(B)$ で表す。つまり、 $$ x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B $$ である。

$B=\{b\}$ のとき $f^{-1}(\{b\})$ を $f^{-1}(b)$ ともかく。

この先、逆写像というものがでてくるがそれと逆像を混同しないようにしてほしい。このことは、特に雪江先生の代数学1に注意深く書いてある。 このことは、逆写像というものが出てきたときにもう一度注意する。

逆像とは以下の図のようなイメージである。

f:id:bananake-tai:20170327155711j:plain:w400

$X=\{1,2,3,4\},Y=\{a,b,c,d\}$ とする。
$f:X\to Y$ を、
$f(1)=a$
$f(2)=a$
$f(3)=b$
$f(4)=c$
と定める。
$B=\{a,c\}$ としたとき、$B$ の逆像は $f^{-1}(B)=\{1,4\}$ となる。
$B=\{d\}$ としたとき、$B$ の逆像は $f^{-1}(B)=\varnothing$ となる。
$B=\{a,b,d\}$ としたとき、$B$ の逆像は $f^{-1}(B)=\{1,2,3\}$ となる。

練習問題

$f:X\to Y$
$A,B\subset Y$ とする。このとき、 $$ f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) $$ を示せ。

証明

$$ \begin{align} x\in f^{-1}(A\cap B)&\Leftrightarrow f(x)\in (A\cap B)\\ &\Leftrightarrow (f(x)\in A)\land (f(x)\in f(B))\\ &\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\land x\in f^{-1}(B)\\ &\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \end{align} $$

$\Box$

演習

  1. 空集合の部分集合は空集合のみであることを示せ。
  2. $f:X\to Y$ $A,B\subset X$ とする。このとき、
    2.1 $f^{-1}(f(A))\supset A$ を示せ。
    2.2 $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ を示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 2013.