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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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部分群

今回は部分群に関して書いていく。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、上記の演習の証明からする。 演習 $G,G'$ を群として、$\phi:G\to G'$ を準同型とする。 このとき、$\forall a\in G$ に対して、 $$ \phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1} $$ であることを示せ…

群の準同型写像

今回は以下の続きで準同型写像というものについて書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習をとく。 演習 群 $G$ の逆元は一意的であることを示せ。 証明 $\forall a\in G$ をとる。 $\exists b,b'\in G\ ;ab=e,ab'=e$ とする。 $$ b=be=b(ab')=(ab)b'…

群の定義

今回は群についてかく。 とりあえず、群の定義をする。 定義(群) $G$ を集合とする。 $G$ に対して、$2$ 項演算 $f:G\times G\to G$ が定まっているとする。 $f(a,b)=ab$ 書く。 $(G,f)$ が群である $ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarr…

行列の演算

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 前回は行列の定義をして、色々な特徴的な行列の例をあげた。前回の行列の定義でも問題はないのだが、厳密な行列の定義もしておく。 定義(行列) $I,J$ を有限集合とする。 このとき、 $$ A:I\times J…

同値関係

以下の定義の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 定義(2項関係) $X$ を集合とすると、$R\subset X\to X$ を $X$ 上の2項関係という。 $\forall x,y\in X$ に対して、$x$ と $y$ に関係があるというのを $(x,y)\in R$ と定義し、$a\sim b$ または …

行列の定義

前回は、行列の例として以下の記事で連立方程式を紹介した。 bananake-tai.hatenablog.com 今回から、行列の定義から始める。 定義(行列) $$ A= \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdo…

行列の始まり

最初は簡単な導入のため2次の行列で解説する。 中学生の頃に連立方程式を解いたと思う。たとえば、以下のような連立方程式を解いてみる。 $$ \begin{align} \left\{ \begin{array}\ctos x+y=3&\cdots(1)\\ 2x+5y=9&\cdots(2) \end{array} \right. \end{alig…

逆写像2

以下の記事の続きをかく。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習の証明からする。 演習 逆写像の定義1で逆写像の一意性を証明せよ。 証明 今、 $$ \exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X \land f\circ g=1_Y\\ \exists g':Y\to X\ ;g'\circ f=1_X \land f\cir…

集合族

今回は集合族について書く。 定義(集合族) $\Lambda,A$ を集合とする。 $a:\Lambda \to A$ を写像とする。 このとき、$a(\lambda)$ を $a_{\lambda}$ と書く。 $a$ を$\Lambda$ によって添え字づけられた $A$ の元の族という。 また、 $$ a=(a_{\lambda})_…

リーマン積分の定義

高校では、積分を微分の逆の演算として習った。 たとえば、 $$ \begin{align} \int_{0}^{2}x^{2}=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]^2_0=\frac{8}{3} \end{align} $$ であるが、これは以下の図の面積を求めているのであった。 次に、以下の関数を考える。 $$ \b…

逆写像1

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の証明からする。 演習 $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。 $g\circ f$ が全射なら、 $g$ は全射であることを示せ。 $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。 $g\circ f$ が全射で、$g$ が単射ならば、$f…

区分求積法1

今回は厳密にはやらないで、高校数学の範囲で区分求積法をお話する。 ある図形の面積を求めるには、どうしたらよいのだろうか。長方形や三角形を組み合わせてできる図形なら求まりそうだが、 曲がっている図形の面積を求めるのは難しそうである。たとえば、…

全射と単射2

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 演習 $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、次の $(1),(2)$ は同値である。 $(1)\ f$ は全射である。 $(2)\ B\subset Y\Rightarrow f\left(f^{-1}(B)\right)=B$ $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とす…

調和級数の発散

今回は、調和級数というについてかく。 調和級数とは以下のように $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots $$ と永遠に逆数を足し続ける級数である。高校でならったシ…

全射と単射

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解答からする。 演習 一般的には、$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ は成立しない。成立していない状況を図で表せ。 $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、 $f\left(f^{-1}(B)\r…

合成写像と写像の制限

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習の証明からする。 演習 空集合の部分集合は空集合のみであることを示せ。 $f:X\to Y$ $A,B\subset X$ とする。 2.1 $f^{-1}(f(A))\supset A$ を示せ。 2.2 $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B…

像と逆像

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 写像の例で重要な例を3つ述べる。 例(定値写像) $X,Y$ を集合とする。$y_0\in Y$ を1つ固定する。$f:X\to Y$ を $x\longmapsto y_0$ と定義する。 この写像を $X$ から $Y$ への定値写像という。…

写像

今回は、数学で重要な概念となる写像について書く。なぜ、重要かというと、集合の最初の方の記事で書いたが、現代数学のほとんどは集合と写像を用いて記述されるからである。 とりあえず、以下の記事の演習の解答から bananake-tai.hatenablog.com 演習 1.$A…

冪集合と直積

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずはうえ、演習の証明からする。 演習 $X$ を集合とし、$A,B\subset X$ とする。 1. $A\subset B\Leftrightarrow A^{c}\supset B^{c}$ 2. $A\subset B\Leftrightarrow A\cap B^{c}=\varnothing$ 3. …

「P⇒Q」の真偽について

$P$ ならば $Q$ について 以下の記事で、命題の真、偽について話したが、今回は、真理値表というものを紹介し、ならばについての真、偽について考えてみる。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、上記事の演習から証明する。 演習 $(P\Rightarrow Q)\Leftri…

論理学における命題

以下の記事で、命題についてお話したと思う。そこで色々な問題があったが、今回はそれを解決するために命題について論理学的に話す。 bananake-tai.hatenablog.com 普段、言語(ここでは日本語とする)で文章というものをつくるときに、あ、い、う、・・・と…

包含関係

今日は、集合の包含関係について書く。 普段生活しているなかで、なんか集合があったときに、そのグ集合に含まれるものや、含まれないものについて考えることはよくあるとおもう。 たとえば、小学校学校では1組、2組、などでクラスを分けたと思う。さらに、1…

公理的集合論1

はじめに 前に以下の記事で、高校数学の集合の定義では不十分だとお話した。 bananake-tai.hatenablog.com では、どのようなものを集合と呼べばよいのだろうか。公理的集合論の話に入る前に少し集合論の歴史を知っといた方が良い気もするが、それは別の記事…

集合

集合 集合とは高校1年で習ったと思う。現代数学のほとんどが集合を使って記述されており非常に重要な概念である。 まずは、高校数学での集合の定義を紹介する。 定義(素朴集合論) 範囲がはっきりしたものの集まりを集合という。 また、集合を構成している1…

命題

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。 命題とは高校の数1で学習したと思う。 定義(高校で習う命題) 正しいか正しくないかが明確に決まる文や式を命題という。命題が正しいとき、その命題は真であるといい、正しくない…

中学と高校の関数の表記の違い

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。 今回は中学と高校の関数の表記の違いについて自分の考えを書きたいと思う。 中学と高校での関数の記法の違い 中学で $y=x+2$ のようなものを関数を読んでいたと思う。 高校では $f(…

ブログを始めようと思った理由

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。 初めまして。 長々と書くのもあれなので、始めた理由を手短に書きます。 まず、私が数学に興味を持ったきっかけを話します。 私は、今まで高校数学ではパターンがいくつかあってそ…