読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。

写像

同値関係

以下の定義の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 定義(2項関係) $X$ を集合とすると、$R\subset X\to X$ を $X$ 上の2項関係という。 $\forall x,y\in X$ に対して、$x$ と $y$ に関係があるというのを $(x,y)\in R$ と定義し、$a\sim b$ または …

逆写像2

以下の記事の続きをかく。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習の証明からする。 演習 逆写像の定義1で逆写像の一意性を証明せよ。 証明 今、 $$ \exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X \land f\circ g=1_Y\\ \exists g':Y\to X\ ;g'\circ f=1_X \land f\cir…

集合族

今回は集合族について書く。 定義(集合族) $\Lambda,A$ を集合とする。 $a:\Lambda \to A$ を写像とする。 このとき、$a(\lambda)$ を $a_{\lambda}$ と書く。 $a$ を$\Lambda$ によって添え字づけられた $A$ の元の族という。 また、 $$ a=(a_{\lambda})_…

逆写像1

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の証明からする。 演習 $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。 $g\circ f$ が全射なら、 $g$ は全射であることを示せ。 $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とする。 $g\circ f$ が全射で、$g$ が単射ならば、$f…

全射と単射2

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 演習 $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、次の $(1),(2)$ は同値である。 $(1)\ f$ は全射である。 $(2)\ B\subset Y\Rightarrow f\left(f^{-1}(B)\right)=B$ $f:X\to Y,g:Y\to Z$ とす…

全射と単射

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解答からする。 演習 一般的には、$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ は成立しない。成立していない状況を図で表せ。 $f:X\to Y$ とし、$B\subset Y$ とする。このとき、 $f\left(f^{-1}(B)\r…

合成写像と写像の制限

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習の証明からする。 演習 空集合の部分集合は空集合のみであることを示せ。 $f:X\to Y$ $A,B\subset X$ とする。 2.1 $f^{-1}(f(A))\supset A$ を示せ。 2.2 $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B…

像と逆像

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 写像の例で重要な例を3つ述べる。 例(定値写像) $X,Y$ を集合とする。$y_0\in Y$ を1つ固定する。$f:X\to Y$ を $x\longmapsto y_0$ と定義する。 この写像を $X$ から $Y$ への定値写像という。…

写像

今回は、数学で重要な概念となる写像について書く。なぜ、重要かというと、集合の最初の方の記事で書いたが、現代数学のほとんどは集合と写像を用いて記述されるからである。 とりあえず、以下の記事の演習の解答から bananake-tai.hatenablog.com 演習 1.$A…