bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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群論

剰余群

前回、剰余類というのを考えた。 bananake-tai.hatenablog.com 今回は、剰余類がいつ群になるのかを考える。 命題 $N\lhd G$ とする。 $\forall g\in G, gN=Ng$ が成立する。 証明 $\forall x\in gN$ をとる。 $\exists n\in N; x=gn$ $N\lhd G$ なので、$gn…

剰余類

る今回は、群論で非常に重要な概念となる剰余類についてかく。 定義 $H$ を 群 $G$ の部分群とする。 $\forall x,y\in G$ に対し、 $$ x\sim y\Leftrightarrow x^{-1}y\in H $$ と定義すると、$\sim$ は $G$ 上の同値関係となる。 このとき、$x\in G$ の同値…

群の生成と2面体群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解説からする。 演習 命題2の $(4)\Rightarrow (1)$ を示せ。 命題5を直交群の同値命題 $(3)$ を用いて証明せよ。また、幾何学的な意味も考察せよ。 $G$ を可換群、$G'$ を群とする。…

直交群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com とりあえず、演習の証明からする。 演習 $G,G'$ を群とし、$f:G\to G'$ を準同型とする。 このとき、 $$ N'\lhd G'\Rightarrow f^{-1}(N')\lhd G $$ を示せ。 $1$ を用いて命題3を証明せよ。 $G,G'$ …

対称群2

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解説からする。 演習 $\in S_n$ が $\forall k\in X_n$ に対して $(k)\leq k$ のとき、$=1_{X_n}$ であることを示せ。 $\forall$$\in S_n$ と $=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_r)$ に対して、 $…

正規部分群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の証明からする。 演習 $G$ を群とする。次を示せ。 $H

対称群

群に関しての記事を書いているが、特に重要な対称群とうトピックについて個別に書いていくことにする。 なぜ、対称群が重要なのかというと、5次以上の方程式の場合解の公式がないという定理ついて聞いたことがある人もいるかもしれないが、 それと関わって…

部分群

今回は部分群に関して書いていく。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、上記の演習の証明からする。 演習 $G,G'$ を群として、$\phi:G\to G'$ を準同型とする。 このとき、$\forall a\in G$ に対して、 $$ \phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1} $$ であることを示せ…

群の準同型写像

今回は以下の続きで準同型写像というものについて書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習をとく。 演習 群 $G$ の逆元は一意的であることを示せ。 証明 $\forall a\in G$ をとる。 $\exists b,b'\in G\ ;ab=e,ab'=e$ とする。 $$ b=be=b(ab')=(ab)b'…

群の定義

今回は群についてかく。 とりあえず、群の定義をする。 定義(群) $G$ を集合とする。 $G$ に対して、$2$ 項演算 $f:G\times G\to G$ が定まっているとする。 $f(a,b)=ab$ 書く。 $(G,f)$ が群である $ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarr…