bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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群論

準同型定理

今回は群論や環論でかなり重要である、準同型定理について書く。 定理 $G,H$ を群とする。 $\phi:G\to H:hom$ $N={\rm ker}(\phi)$ とおき、 $\pi:G\to G/N$ を自然な準同型とすると次が成り立つ。 $\exists 1 \psi:A/K\to Im(\phi)\ ;\phi=\psi\circ\pi$ さ…

位数p^2の群の分類

今回は位数 $p^{2}$ の群の分類をする。 命題 $G$ を群、$H,K\lhd G$ で、$H\cap K=\{1_{G}\}$ 、$HK=G$ とする。 このとき、$G\cong H\times K$ となる。 また、上記の命題を使う。 補題 $G$ が $p$ 群なら、$Z(G)\neq \{1\}$ である。 証明 $G$ の類等式を…

位数15の群の分類

シローの定理を使って位数15の群を分類する。 その前に必要な命題を証明する。 命題 $H

シローの定理(2)

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 補題 $G$ を群とし、$N\lhd G$ とする。 このとき、$\forall H

シローの定理(1)

シローの定理とは、有限群を調べるうえで重要な定理である。 シローの定理を示すのは結構大変で、いくつかの命題が必要となる。 定義(中心化群) $H$ を 群 $G$ の部分群とする。 $Z_{G}(H)=\{g\in G\mid \forall h\in H\ ,gh=hg\}$ を $H$ の中心化群とい…

群の作用

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com 対称群や2面体群は複雑な群であったが、それぞれ要素の並べ変えや、平面の変換と考えることで、 その群の性質をとらえることができた。このような考えの一般化が群の作用である。 定義 $G$ を群、$X$…

剰余群

前回、剰余類というのを考えた。 bananake-tai.hatenablog.com 今回は、剰余類がいつ群になるのかを考える。 命題 $N\lhd G$ とする。 $\forall g\in G, gN=Ng$ が成立する。 証明 $\forall x\in gN$ をとる。 $\exists n\in N; x=gn$ $N\lhd G$ なので、$gn…

剰余類

る今回は、群論で非常に重要な概念となる剰余類についてかく。 定義 $H$ を 群 $G$ の部分群とする。 $\forall x,y\in G$ に対し、 $$ x\sim y\Leftrightarrow x^{-1}y\in H $$ と定義すると、$\sim$ は $G$ 上の同値関係となる。 このとき、$x\in G$ の同値…

群の生成と2面体群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解説からする。 演習 命題2の $(4)\Rightarrow (1)$ を示せ。 命題5を直交群の同値命題 $(3)$ を用いて証明せよ。また、幾何学的な意味も考察せよ。 $G$ を可換群、$G'$ を群とする。…

直交群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com とりあえず、演習の証明からする。 演習 $G,G'$ を群とし、$f:G\to G'$ を準同型とする。 このとき、 $$ N'\lhd G'\Rightarrow f^{-1}(N')\lhd G $$ を示せ。 $1$ を用いて命題3を証明せよ。 $G,G'$ …

対称群2

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の解説からする。 演習 $\in S_n$ が $\forall k\in X_n$ に対して $(k)\leq k$ のとき、$=1_{X_n}$ であることを示せ。 $\forall$$\in S_n$ と $=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_r)$ に対して、 $…

正規部分群

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、演習の証明からする。 演習 $G$ を群とする。次を示せ。 $H

対称群

群に関しての記事を書いているが、特に重要な対称群とうトピックについて個別に書いていくことにする。 なぜ、対称群が重要なのかというと、5次以上の方程式の場合解の公式がないという定理ついて聞いたことがある人もいるかもしれないが、 それと関わって…

部分群

今回は部分群に関して書いていく。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、上記の演習の証明からする。 演習 $G,G'$ を群として、$\phi:G\to G'$ を準同型とする。 このとき、$\forall a\in G$ に対して、 $$ \phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1} $$ であることを示せ…

群の準同型写像

今回は以下の続きで準同型写像というものについて書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずは演習をとく。 演習 群 $G$ の逆元は一意的であることを示せ。 証明 $\forall a\in G$ をとる。 $\exists b,b'\in G\ ;ab=e,ab'=e$ とする。 $$ b=be=b(ab')=(ab)b'…

群の定義

今回は群についてかく。 とりあえず、群の定義をする。 定義(群) $G$ を集合とする。 $G$ に対して、$2$ 項演算 $f:G\times G\to G$ が定まっているとする。 $f(a,b)=ab$ 書く。 $(G,f)$ が群である $ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarr…