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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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命題

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命題とは高校の数1で学習したと思う。

定義(高校で習う命題)

正しいか正しくないかが明確に決まる文や式を命題という。命題が正しいとき、その命題は真であるといい、正しくないとき、その命題は偽であるという。

さて、ここでひとつ疑問がでてくる。 文や式正しいか正しくないか明確に決まるとはどのように判断すればよいのだろうか。 そもそも、どういうものを文や式というのだろうか。 一旦、文や式は我々が通常認識している意味でとらえるとしよう。

1は3より大きい。
という文を考えるとする。 これは、正しいか正しくないか明確に決まっているのだろうか。1は3より大きいのは正しいので、明確に決まっていると思える。

100は大きい。
という文はどうだろうか。100は大きいと思う人もいるだろうし、小さいと思う人もいると思う。これは、明確に決まっているといえるのだろうか。個々人に対しては、大きいかそうでないかは明確に決まっているように思える。しかし、逆に言うと、100が大きいかそうでないかは個々によってちがうものであるので、その意味では明確には決まってないように思える。 そうかんがえると、明確という意味もきちんととらえなくてはいけないのではないか。

あびふろくにたむそく。
という文はどうだろうか。いままでの文とは全く性質の違う文である。この文が正しいか、正しくないか明確に決めることはできるのだろうか。普通に考えると、正しいか正しくないかは判断できないのだが、判断できない理由が私の実力不足でわからないのか、本当に明確に判断できないのかかは分からない。こういう文にどう正しい、正しくないを定めるのだろうか。

数学のおもしろさをわかってもらうには厳密にやりたいが、これ以上やると数学基礎論の話になるので、とりあえず命題の意味は今まで使っていた感覚で定義する。いつか、基礎論の記事もかくつもりである。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。