bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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集合

集合

集合とは高校1年で習ったと思う。現代数学のほとんどが集合を使って記述されており非常に重要な概念である。 まずは、高校数学での集合の定義を紹介する。

定義(素朴集合論)

範囲がはっきりしたものの集まりを集合という。
また、集合を構成している1つのものを、その集合の要素と(元)という。
$a$が集合$A$の要素であるとき、$a$は集合$A$に属するといい、$a\in A$ と表す。
$a$が集合$A$の要素でないでき、$a\in A$ と表す。

定義(集合の記法)

元$a,b,c,\cdots$ よりなる集合を
$\{a,b,c,\cdots\}$ と表し、外延的記法という。
内包的記法の定義は省略します。

さて、範囲がはっきりしたももの集まりとはなんだろうか。

$A=\{a,b,c\}$ という集合を考える。$A$は集合と言ってしまっているが、ものが全て書き表されて、普通の感覚でははっきりしたもののあつまりであるので集合であろう。

例(ラッセルの逆理)

$X$を集合とする。 $A=\{X\mid X\notin X\}$
という集合を考えてみよう。つまり、$X$自信を集合にもたない集合全体を考えている。$A$は集合になるのだろうか。
ここで、 $A\in A$ なのか、$A\notin A$なのかを考える。
$(1)\ A\in A$ と仮定。
仮定より、$A\in A$ だが、これは $A$の定義に矛盾。
$(2)\ A\notin A$ と仮定。 $A$の定義より、 $A\in A$ だか、これは仮定に矛盾。

このような集合を考えると、$A$は範囲がはっきりしたものの集まりではないように思える。

以上より、高校数学での集合の定義では、不十分であることがわかるだろう。
では、集合を正確に定義するにはどうしたらようのだろうか、これは公理的集合論という内容になるので、また別の機会に紹介したいと思う。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。