読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。

包含関係

今日は、集合の包含関係について書く。
普段生活しているなかで、なんか集合があったときに、そのグ集合に含まれるものや、含まれないものについて考えることはよくあるとおもう。 たとえば、小学校学校では1組、2組、などでクラスを分けたと思う。さらに、1組の男子全体や、1組の身長が150cm以上の人という集合を考えたとき、 それは1組という集合の一部でもあると考えることができる。これは高校で習う部分集合に対応している。
このような考えを数学上でも扱いたいのである。

定義

$A,B$ を集合とする。 $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$ のとき $A$ は $B$ の部分集合。または $A$ は $B$ に含まれる。または、$B$ は $A$ を含むともいい、$A\subset B$ と表す。 特に、$A\subset B$ かつ $A\neq B$ のとき、$A$ は $B$ の真部分集合であるという。

f:id:bananake-tai:20170317101754j:plain:w300

定義

$A,B$ を集合とする。 $$ \{x\mid x\in A\lor x\in B\} $$ を和集合といい、$A\cup B$ と表す。

f:id:bananake-tai:20170317102415j:plain:w300

定義

$A,B$ を集合とする。 $$ \{x\mid x\in A\land x\in B\} $$ を共通部分といい、$A\cap B$ と表す。

f:id:bananake-tai:20170317102408j:plain:w300

定義

$X$ を集合とし、$A\subset X$ とする。 $$ \{x\in X\mid x\notin A\} $$ を $A$ の $X$ における補集合といい、$A^{c}$ と表す。

f:id:bananake-tai:20170317102412j:plain:w300

数学では、図でイメージすることも大切ですので、図も載せてみました。高校の頃はベン図で習った次の定理を定義にそって証明してみましょう。

練習問題

  1. $(A^{c})^{c}=A$  
  2. $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

証明1

$$ \begin{align} x\in (A^{c})^{c}&\Leftrightarrow \lnot (x\in A^{c})\\ &\Leftrightarrow \lnot(\lnot (x\in A))\\ &\Leftrightarrow x\in A \end{align} $$ ■

証明2

$$ \begin{align} x\in (A\cap B)^{c}&\Leftrightarrow \lnot(x\in A \land x\in B)\\ &\Leftrightarrow (\lnot (x\in A))\lor (\lnot (x\in B))\\ &\Leftrightarrow x\in A^{c}\cup B^{c} \end{align} $$ よって、$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$ ■

以上の証明を参考にして演習を解いてほしい。特に、2番の変形は見慣れない形かもしれないが、結構出てくるので覚えておくとよいと思う。

演習

$X$ を集合とし、$A,B\subset X$ とする。
1. $A\subset B\Leftrightarrow A^{c}\supset B^{c}$
2. $A\subset B\Leftrightarrow A\cap B^{c}=\varnothing$
3. $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.

{ \displaystyle
owari
}