bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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論理学における命題

以下の記事で、命題についてお話したと思う。そこで色々な問題があったが、今回はそれを解決するために命題について論理学的に話す。 bananake-tai.hatenablog.com

普段、言語(ここでは日本語とする)で文章というものをつくるときに、あ、い、う、・・・というなにも意味を持たない記号を使っている。(英語では、a、b、c、・・・などである。) 実際に使っている言語では、記号を組み合わせて単語を作る。たとえば、「ねこ」、「いぬ」などである。しかし、単語だけでは意味は伝わらないので単語を組み合わせて意味のある文を作る必要がある。 ここでは、記号の羅列を文といい、意味のある文というのを文章と呼ぶことにする。ここで、文章を作る際に適当に単語を組み合わせても文章にはならない。たとえば、 $$ はみるあなたをねこ $$ という、文は普通意味のわかる人はいないと思う。しかし、並びを変えてみると、 $$ あなたはねこをみる $$ というように並び変えると文章になる。上記の文章を単語に分解(品詞分解)してみると、「あなた」、「は」、「ねこ」、「を」、「みる」となる。
以上のように、単語をうまくならべないと文章にはならない。うまく並べるためのルールが文法である。
このような考え方を抽象化して数学にも取り入れたい。

定義(言語)

$\land \ , \lor \ , \lnot \ , \Rightarrow \ , \Leftrightarrow$
を論理結合子という。
$P,Q,\dots,P_1,Q_2,\dots$
を命題記号いう。
$\perp$
を特殊記号という。
$()$
を補助記号という。

文章をつくるための道具を用意した。

定義(読み方)

$\land$ は「かつ」と読む。
$\lor$ は「または」と読む。
$\lnot$ は「否定」と読む。
$\Rightarrow$ は「ならば」と読む。
$\Leftrightarrow$ は「同値」と読む。
$\perp$ は「偽」と読む。

とりあえず、色々な記号と読み方を定義した。あとは記号の羅列だけでは無意味なので、どのようなものが命題かを定められるように文法を準備する。

定義(文法)

  1. 命題記号と特殊記号は命題である。
  2. $P$ が命題であるとき、$(\lnot P)$は命題である。
  3. $P,Q$ が命題であるとき、$(P\land Q)$ , $(P\lor Q)$ , $(P\Rightarrow Q)$ , $(P\Leftrightarrow Q)$ は命題である。
  4. 以上により、命題とわかるものだけを命題とする。

1では、文章のようなものを定義して、2,3では結合演算子を用いて文章と文章を組み合わせて新しい文章を作っている。これで、さまざまな文章の作成が可能になる。
これで、命題というものの作り方は分かったが、命題に意味をもたせなければならない。そこで、高校数学にもでてきた真偽という言葉を用いる。

定義(真理値)

  1. 命題は真又は偽という真理値の持つ。真を $T$ と表し、偽を $F$ と表す。
  2. $\perp$ の真理値は常に $T$ である。
  3. 命題記号 $P$ の真理値は、 $T$ および $F$ をとりうる。
  4. $(P\land Q)$ が $T$ であるのは、$P,Q$ がともに $T$ のときのみである。
  5. $(P\lor Q)$ が $T$ であるのは、$P,Q$ の少なくともどちらか一方が $T$ であるときのみである。
  6. $(\lnot P)$ が $T$ であるのは、 $P$ が $F$ のときのみである。
  7. $(P\Rightarrow Q)$ が $T$ であるのは、 $P,Q$ がともに $T$ か、 $P$ が $F$ であるか、$Q$ が $T$ であるときである。
  8. $(P\Leftrightarrow Q)$ が $T$ であるのは、$P,Q$ が同じ真理値をとるときである。

これで、少しだが命題がどのように構成されるのかがわかっていただけたと思う。 これ以上深入りはしないが、気になる人は参考文献を読んでほしい。

演習

  1. $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow \bigl((\lnot Q)\Rightarrow (\lnot P)\bigr)$ を示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

http://abelard.flet.keio.ac.jp/person/mitsu/pdf/nyumon_logic.pdf

{ \displaystyle
owari
}