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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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「P⇒Q」の真偽について

$P$ ならば $Q$ について

以下の記事で、命題の真、偽について話したが、今回は、真理値表というものを紹介し、ならばについての真、偽について考えてみる。 bananake-tai.hatenablog.com まずは、上記事の演習から証明する。

演習

  1. $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow \bigl((\lnot Q)\Rightarrow (\lnot P)\bigr)$ を示せ。

証明

真理値表を書く。

$P$ $Q$ $\lnot P$ $\lnot Q$ $P\Rightarrow Q$ $(\lnot Q)\Rightarrow (\lnot P)$
T T F F T T
T F F T F F
F T T F T T
F F T T T T

命題の真偽をわかりやすくするために、表を導入する。上表を真理値表という。 たとえば、$P\land Q$ の真理値表を書かく。$P\land Q$ が $T$ であるのは、$P,Q$ がともに $T$ のときであったので、

$P$ $Q$ $P\land Q$
T T T
T F F
F T F
F F F

同様に、 を真理値表を用いて表すと、

$P$ $Q$ $P\Leftrightarrow Q$
T T T
T F F
F T T
F F T

となるが、みなさんはこの真偽について、納得できるだろうか。ひとつづつ確認していこう。   具体例のほうがわかりやすので、$P\Leftrightarrow Q$ というのを、「明日雨が降る ならば 学校を休む」 におきかえてかんがてみよう。以降、この文章を命題と呼ぶことにする。
もし、本当に明日雨が降って、本当に学校を休んだときは、命題が真とるのはよさそうだ。
次に、本当に明日雨が降ったけど、学校に行った場合には、そのひとは嘘をついたことになるだろうから、命題が偽となるのもよさそうだ。
問題なのはここからで、$P$ が偽で、$Q$ が真のとき $P\Leftrightarrow Q$ は真であると言っている。ここで、なかなか受け入れられない人が多い。例の命題に置き換えて考えてみると、 明日雨が降らなかったけど、学校を休んだ場合はどうなるだろうか。その命題を言った人は嘘をついたことになるだろうか。命題をでは、雨が降ったときにのことしか言及していない。 つまり、雨が降ったときの行動はどうするか言っているが、降らなかったときについては何も言及していないので、降らなかったときどんな行動をとろうとも、それは嘘にはならない。つまり、命題は真となる。 同様に、雨が降らなかったとき、学校を休まなかった、というのも真となる。
よって、上記の真偽の決め方で問題ないだろう。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

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