bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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冪集合と直積

以下の記事の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com まずはうえ、演習の証明からする。

演習

$X$ を集合とし、$A,B\subset X$ とする。
1. $A\subset B\Leftrightarrow A^{c}\supset B^{c}$
2. $A\subset B\Leftrightarrow A\cap B^{c}=\varnothing$
3. $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$

証明1

今、 $$ x\in A \Rightarrow x\in B $$ が成立しているので、対偶をとると、 $$ \lnot (x \in B) \Rightarrow \lnot (x\in A) $$ よって、 $$ A^{c}\supset B^{c} $$ ■

2については2つの方法を紹介いたします。

証明2(背理法

$A\cap B^{c}\neq \varnothing$ と仮定する。 $$ \begin{align} A\cap B^{c}\neq \varnothing &\Leftrightarrow \exists x (x\in A\cap B^{c}) \\ &\Leftrightarrow \exists x (x\in A\land x\in B^{c})\\ &\Leftrightarrow \exists x (x\in B\land x\in B^{c})\\ \end{align} $$ よって、矛盾。

証明2

$A\subset B$ より、 $$ A\cap B^{c}\subset B\cap B^{c} $$ $B\cap B^{c}=\varnothing$ であり、空集合の部分集合は空集合のみなので、$A\cap B^{c}=\varnothing$ である。

証明3

$$ \begin{align} x\in (A\cup B)^{c}&\Leftrightarrow \lnot(x\in A \lor x\in B)\\ &\Leftrightarrow (\lnot (x\in A))\land (\lnot (x\in B))\\ &\Leftrightarrow x\in A^{c}\cap B^{c} \end{align} $$ よって、$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$

高校では、$\varnothing$ は任意の集合の部分集合であることを約束して進めていたとおもう。 しかし、以下の記事で、ならばの真偽について理解できたなら、これも証明ができる。 bananake-tai.hatenablog.com

命題

任意の集合 $A$ に対して、$\varnothing \subset A$ である。

証明

$x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in A$ を示せばよい。 仮定が偽、なのでこの命題は、真である。

定義(冪集合)

$X$ を集合とする。
$\{A\mid A\subset X\}$
を $X$ の冪集合といい $\mathcal P(X)$ と表す。

冪集合が存在するかどうかは、公理的集合論にまかせるとして、部分集合とは、つまり、部分集合全体の集合である。

$X=\{a,b\}$ とすると、 $$ \mathcal P(X)=\{\varnothing , \{a\},\{b\},\{a,b\}\} $$ である。

一般に、有限集合 $X$ の要素の個数が $n$ のとき、$\mathcal P(X)$ の要素の個数は $2^{n}$ である。

定義

$X,Y$ を集合とする。
$x\in X,y\in Y$ に対して、$(x,y)$ を順序対という。
順序対 $(x,y),(x',y')$ に対して、$x=x'$ かつ $y=y'$ のとき、$(x,y)$ と $(x',y')$ は等しいといいい、 $(x,y)=(x',y')$ と書く。
$\{(x,y)\mid x\in X\land y\in Y\}$
を $X$ と $Y$ の直積といい、$X\times Y$ と書く。

$X$ と $Y$ の直積の元 $(x,y)$ とは以下のようなイメージである。

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つまり、イメージ的には直積とは、平面上の点の集合である。このような点の集合を考えるのも自然であると思う。

演習

1.$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ を示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 2013.