bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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集合族

今回は集合族について書く。

定義(集合族)

$\Lambda,A$ を集合とする。
$a:\Lambda \to A$ を写像とする。
このとき、$a(\lambda)$ を $a_{\lambda}$ と書く。
$a$ を$\Lambda$ によって添え字づけられた $A$ の元の族という。
また、

$$ a=(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} $$ と表す。
$\Lambda$ を添え字集合という。

特に、$(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ があり、

$\forall \lambda$ に対して、$A_{\lambda}$ が集合のとき、 写像 $A$ を $\Lambda$ によって添え字づけられた集合族という。

つまり、数列の拡張概念だと思ってもらってもよい。
よく、集合族を集合とついているから、集合と思っていたり教科書でもあまり区別して書かれていないことがあるが、厳密にいえば写像である。 集合族の像 $\{A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda\}$ は集合系である。
また、 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}=\{A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda\}$ と表す。
今後は、違いが分かっているものとして、しばしば集合族を像と同一視して使う場合がある。
イメージとしては以下の図を思ってもらえれば良いと思う。

f:id:bananake-tai:20170410181017j:plain:w400

集合と同じように、集合族にも和集合や共通部分を考えられる。

定義(和集合、共通部分)

$(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ とする。 このとき、

$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\{x\in A_{\lambda}\mid \exists\lambda\in\Lambda \} $$

を $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の和集合という。
また、

$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\{x\in A_{\lambda}\mid \forall\lambda\in\Lambda \} $$

を $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の共通部分という。

$\Lambda =\varnothing$ のときは、それぞれ、 $$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\varnothing\ ,\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\varnothing $$ と定義する。

補足として、添え字集合が $\lambda=\mathbb{N}$ のとき、 $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ の和集合、共通部分をそれぞれ、

$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\ ,\ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n $$

と表すことがある。

集合族になれるためにいくつか練習問題を解く。基本的には集合に慣れていればあまり難しくない。

練習1

$(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ とし、$B$ を集合とする。 このとき、

$$ (\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda})\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B) $$ が成立する。

証明


\begin{eqnarray}
x\in (\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda})\cap B&\Leftrightarrow& \exists\lambda\in\Lambda\ ; x\in A_{\lambda}\land x\in B\\
&\Leftrightarrow& \exists\lambda\in\Lambda\ ; x\in A_{\lambda}\cap B\\
&\Leftrightarrow& x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B)
\end{eqnarray}

よって、 $$ (\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda})\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B) $$ が成立する。

$\Box$

定義(部分集合系)

$(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ とし、$X$ を集合とする。

$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\subset X$ のとき、$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の部分集合系という。

つまり、$X$ は集合の集合ということである。

練習2

$(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ とする。

また、$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を 集合 $X$ の部分集合系集合とする。
このとき、

$$ (\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda})^{c}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda})^{c} $$ が成立する。

証明


\begin{eqnarray}
x\in (\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda})^{c}&\Leftrightarrow& \lnot(\exists\lambda\in\Lambda\ ; x\in A_{\lambda})\\
&\Leftrightarrow& \forall\lambda\in\Lambda\ ; \lnot(x\in A_{\lambda})\\
&\Leftrightarrow& \forall\lambda\in\Lambda\ ; x\in (A_{\lambda})^{c}\\
&\Leftrightarrow& x\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda})^{c}
\end{eqnarray}
$\Box$

演習

1.$f:X\to Y$ とし、$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を 集合 $X$ の部分集合系集合とする。
このとき、
1.1

$$ f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right) $$ 1.2 $$ f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f\left(A_{\lambda}\right) $$ を示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 2013.
斎藤正彦, 数学の基礎, 東京大学出版会, 2014.
http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/set_topology1_pdf/note4.pdf