bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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逆写像2

以下の記事の続きをかく。 bananake-tai.hatenablog.com

まずは演習の証明からする。

演習

  1. 写像の定義1で逆写像の一意性を証明せよ。

証明

今、 $$ \exists g:Y\to X\ ;g\circ f=1_X \land f\circ g=1_Y\\ \exists g':Y\to X\ ;g'\circ f=1_X \land f\circ g'=1_Y $$ が成立しているとする。このとき、 $$ \begin{align} g'&=g'\circ 1_Y \\ &=g'\circ (f\circ g)\\ &=(g'\circ f)\circ g\\ &=1_X\circ g\\ &=g \end{align} $$ が成立するので、逆写像は一意である。

$\Box$

前回の最後の紹介した逆写像の定義の2個目をもう一度載せておく。

定義(逆写像2)

$f:X\to Y$ を全単射とする。
つまり、次の性質を満たす。 $$ \forall y\in Y\ ,\exists 1x\in X\ ;y=f(x) $$ これは、$g:Y\to X$ という写像が存在することを示している。 この、写像 $g$ を逆写像といい、$f^{-1}$ と表す。
直積の部分集合で表せば、 $$ g=\{(f(x),x)\mid x\in X\} $$ ということである。

こうして定義した逆写像と、最初に定義した逆写像が同じであることを示していく。
まずは、練習として $f^{-1}$ が全単射ということを示す。

命題

$f:X\to Y$ を全単射とする。
このとき、$f^{-1}$ も全単射である。

証明

$(1)$ 全射であること
$\forall x\in X$ を1つ固定する。
$y=f(x)$ とおくと、$y\in Y$ で、$f^{-1}(y)=f^{-1}\left(f(x)\right)=x$
よって、$f^{-1}$ は全射である。

$(2)$ 単射であること $\forall y,y'\in Y$ に対して、$x=f^{-1}(y)=f^{-1}(y')$ とする。
すると、$f(x)=y=y'$ なので、$f^{-1}$ は単射である。

$\Box$

同じであるには、何を示せばよいかというと、次の命題である。

命題

$f:X\to Y$ を全単射とする。
このとき、 $$ f^{-1}\circ f=1_X \land f\circ f^{-1}=1_Y $$ が成立する。

証明

$(1):f^{-1}\circ f=1_X$
$\forall x\in X$ に対して、$y=f(x)$ とおくと、
$f^{-1}(y)=x$ なので、 $$ \begin{align} f^{-1}\circ f&=f^{-1}(f(x))\\ &=f^{-1}(y)\\ &=x\\ &=1_X \end{align} $$

$(2):f\circ f^{-1}=1_Y$
$\forall y\in Y$ に対して、$x=f^{-1}(y)$ とおくと、
$f(x)=y$ なので、 $$ \begin{align} f\circ f^{-1}&=f(f^{-1}(y))\\ &=f(x)\\ &=y\\ &=1_Y \end{align} $$

よって、命題は証明された。

$\Box$

演習によって、このような写像は一意だったので、$g=f^{-1}$ ということが分かった。 つまり、逆写像の定義1と定義2は同じである。

写像の良い点としては、ある写像があって、その写像全単射であることを示す場合に、逆写像を構成するという方法がある。 すなわち、前回の命題 $1.3$ の $\Leftarrow$ が成立することを示せばよい。

$f:\mathbb{R} \backslash \{1\}\to \mathbb{R} \backslash \{1\}$ を $$ f(x)=\frac{1}{x-1} $$ と定義する。このとき、$f(x)$ が全単射であることを示せ。

証明

$\forall y\in Y$ に対して、$g(y)=\frac{1}{y}+1$ と定義する。
すると、 $$ \begin{align} f(g(y))&=\frac{1}{\frac{1}{y}+1-1}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{y}}\\ &=y \end{align} $$ また、 $$ \begin{align} g(f(x))&=\frac{1}{\frac{1}{x-1}}+1\\ &=x-1+1\\ &=x \end{align} $$ よって、$g$ は $f$ の逆写像となり、$f$ は全単射である。

$\Box$

以上で写像に関しては全部で8回分書いた。厳密ではないところや間違いもあったかもしれないが、感覚はつかんでいただけたと思う。 論理記号が途中から説明もなく多様したしまったが、また別で論理記号の説明を簡単に書きたいと思う。なれれば難しくなくなく、むしろそのほうが便利であると思う。

演習

$f:X\to Y\ ,g:Y\to Z$ とし、$g,f$ ともに全単射とする。
このとき、 $$ (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} $$ が成り立つ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

鎌田正良, 集合と位相, 近代科学社, 2015.
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.