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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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行列の始まり

最初は簡単な導入のため2次の行列で解説する。

中学生の頃に連立方程式を解いたと思う。たとえば、以下のような連立方程式を解いてみる。

$$ \begin{align} \left\{ \begin{array}\ctos x+y=3&\cdots(1)\\ 2x+5y=9&\cdots(2) \end{array} \right. \end{align} $$

まずは、$(2)$ から $(1)$ の 2倍を引くと、

$$ \begin{align} \left\{ \begin{array}\ctos x+y=3&\cdots(1)\\ 3y=3&\cdots(2) \end{array} \right. \end{align} $$

次に、$(2)/3$ をすると、

$$ \begin{align} \left\{ \begin{array}\ctos x+y=3&\cdots(1)\\ y=1&\cdots(2) \end{array} \right. \end{align} $$

最後に、$(1)-(2)$ をすると、

$$ \begin{align} \left\{ \begin{array}\ctos x=2&\cdots(1)\\ y=1&\cdots(2) \end{array} \right. \end{align} $$

よって解が出る。これは、中学生でやった連立方程式だが、このように解いてみると、連立方程式を解くにはなにが本質的なのだろうか。 よくよくみてみると、係数だけ追っかけていけばよいのではないだろうか。係数だけをみて先ほどの計算をおこなってみる。

$$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 9\\ \end{array} \right) $$

上の段を $(1)$ で下の段を $(2)$ とする。

まずは、$(2)$ から $(1)$ の 2倍を引くと、

$$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 3\\ \end{array} \right) $$

次に、$(2)/3$ をすると、

$$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{array} \right) $$

最後に、$(1)-(2)$ をすると、

$$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{array} \right) $$

連立方程式の解は $x=2,y=1$ だった。一番右の行をみてみると、縦に $2,1$ と並んでいて、これが解である。 だた、$x,y$ をなくして計算したが、$x,y$ があるかどうかはあまり本質的ではないことがわかった。 つまり、連立方程式を解くためには、係数を並べたものをうまく変形していけばよいということがわかる。このような変形を次のようにかく。

$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\\ 2 & 5 & 9 \end{array} \right) $ $\to$ $ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\\ 0 & 3 & 3 \end{array} \right) $ $\to$ $ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 & 3 \\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) $ $\to$ $ \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 & 2 \\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) $

非常に簡潔に書けていて、数字だけなのでコンピューターにも扱いやすそうである。 このようにして行列というものが考えられ始めたのである。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~takagi/Draft/lecnote2014.pdf