bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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行列の定義

前回は、行列の例として以下の記事で連立方程式を紹介した。

bananake-tai.hatenablog.com

今回から、行列の定義から始める。

定義(行列)

$$ A= \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) $$ のように、実数を並べたものを $m\times n$ 行列といい、また、$A=(a_{ij})$ と表すこともある。 また、各実数を行列 $A$ の成分といい、特に $a_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ 成分といい、$(m,n)$ を行列のサイズという。
$(i,i)$ $(i=1,2,\cdots ,\rm{min}\{m,n\})$成分のことを対角成分という。

簡単なため次の記号を導入する。

$$ M_{m,n}(\mathbb{R})=\{(a_{ij})\mid a_{ij}\in \mathbb{R}\} $$

つまり、$m\times n$ 行列全体の集合である。
$m=n$ のときには、$M_{n,n}(\mathbb{R})=M_{n}(\mathbb{R})$ と表す。

定義(列ベクトル、行ベクトル)

$1\times n$ 行列を $n$ 次元列ベクトルといい、
$m\times 1$ 行列を m 次元行ベクトルという。

つまり、

$ \left( \begin{array}{c} a_{11}\\\ a_{21}\\\ \vdots\\\ a_{m1} \end{array} \right) $ $\ ,$ $ \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{array} \right) $

という形の行列である。

定義(行列の相等)

$A,B\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ として、$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ とする。
$A$ と $B$ が等しい
$\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$ $\forall (i,j)$ に対して、$a_{ij}=b_{ij}$ が成り立つ。

行列の相等の定義は対応する各成分が等しいということなので、あまりこの定義の仕方に疑問を持つ人はいないと思う。

行列どうしの演算は次回にするとして、どんな行列があるか例をあげる。

例1(零行列)

$O\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ とする。

$$ O= \left( \begin{array}{c} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) $$

を零行列という。
つまり、$m\times n$ 行列の成分が全て $0$ ということである。

例2(単位行列

$I_n\in M_{n}(\mathbb{R})$ とする。 $$ I_n= \left( \begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right) $$

を $n$ を $n$ 次単位行列という。
つまり、$\forall i\in \mathbb{N}$ に対して、$a_{ii}=1$ ということである。また、$E_n$ と表すこともある。

例3(転置行列)

$A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ とし、$A=(a_{ij})$ とする。
$$ ^tA= \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm} \end{array} \right) $$ を転置行列という。
つまり、$(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)$ とすると、$^tA=(a_{ji})$ と表せる。また、$a_{ij}=a_{ji}$ である。

例4(対角行列)

$A\in M_{n}(\mathbb{R})$ とする。 $$ A= \left( \begin{array}{c} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{array} \right) $$

を対角行列という。
つまり、対角成分以外は $0$ ということである。
また、$A=\rm{diag}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ と表すこともある。

例5(正方行列)

$A\in M_{n}(\mathbb{R})$ のとき $A$ を正方行列という。

例6(上三角行列、下三角行列)

$A\in M_{n}(\mathbb{R})$ とし、$A=(a_{ij})$ とする。

$$ A= \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) $$

を上三角行列という。
つまり、$i>j$ のとき、$a_{ij}=0$ ということである。

また、

$$ A= \left( \begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) $$

を下三角行列という。
つまり、$j>i$ のとき、$a_{ij}=0$ ということである。

例7(スカラー行列)

$A$ を対角行列とする。
$A=\rm{diag}(a,a,\cdots ,a)$ のとき、スカラー行列という。

例8(対称行列)

$A\in M_{n}(\mathbb{R})$ とする。
$A={}^tA$ のとき、$A$ を対称行列という。

このように、さまざまな特徴をもった行列が考えられる。1つ1つ基本的なトピックから発展的なトピックをもった興味深い行列である。 それはのちのちやっていくこととして、色々おもしろそうな行列を考えてほしい。

次回は、単に $A=(a_{ij})$ と書いたら、特に断りがない限り、$A$ は $m\times n$ 行列とする。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

砂田利一, 行列と行列式 ,岩波書店, 2003.
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~takagi/Draft/lecnote2014.pdf