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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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同値関係

以下の定義の続きを書く。 bananake-tai.hatenablog.com

定義(2項関係)

$X$ を集合とすると、$R\subset X\to X$ を $X$ 上の2項関係という。
$\forall x,y\in X$ に対して、$x$ と $y$ に関係があるというのを $(x,y)\in R$ と定義し、$a\sim b$ または $xRy$ と表す。

以降、2項関係を関係という。

集合 $X$ 上にある関係 $R$ があったとき、$R$ が次を満たせばよい性質を導ける。

定義(同値関係)

$X$ を集合として、$R$ を $X$ 上の関係とする。
$R$ が $X$ 上の同値関係である
$ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{l} (1)\forall a\in X\ ,a\sim a \\ (2)\forall a,b\in X\ ,a\sim b \Rightarrow b\sim a \\ (3)\forall a,b,c\in X\ ,a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c \end{array} \right. \end{align} $
(1)を反射律、(2)を対称律、(3)を推移律という。

なぜ、$R$ がこの性質を満たせばよい性質になるのかの前に例をいくつかあげる。

例1

$X=\{1,2,3,4\}$ に対して、関係 $R$ を $$ R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)\} $$ と定義すると、$R$ は $X$ 上の同値関係となる。

これは、調べればすぐわかる。

例2

$\mathbb{Z}$ に対して、関係 $R$ を $$ R=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mid a\equiv b \bmod 3\} $$ と定義すると、$R$ は $X$ 上の同値関係となる。

証明

$(1)$ 反射律
$\forall a\in \mathbb{Z}$ をとる。
$k=0$ とすると、$a-a=0=3・0$
よって、$a\sim a$

$(2)$ 対称律
$\forall a,b\in \mathbb{Z}$ をとる。
$a\sim b$ とすると、$\exists k\in R\ ;a-b=3k$ なので、$b-a=3(-k)$
よって、$b\sim a$ である。

$(3)$ 推移律
$\forall a,b,c\in \mathbb{Z}$ をとる。
$a\sim b,b\sim c$ とすると、$\exists k\in R\ ;a-b=3k$ かつ $\exists l\in R\ ;b-c=3l$ となる。 すると、 $$ \begin{align} a-b+(b-c)&=a-c\\ &=3(k+l) \end{align} $$ よって、$a\sim c$ である。

$\Box$

例3

$f:X\to Y$ とする。$X$ に対して、関係 $R$ を $$ R=\{(a,b)\in X\times X\mid f(a)=f(b)\} $$ と定義すると、$R$ は $X$ 上の同値関係となる。

証明

$(1)$ 反射律
$\forall a\in X$ をとる。
写像の定義より、$f(a)=f(a)$
よって、$a\sim a$

$(2)$ 対称律
$\forall a,b\in X$ をとる。 $a\sim b$ とすると、$f(a)=f(b)$
明らかに、$f(b)=f(a)$
よって、$b\sim a$ である。

$(3)$ 推移律
$\forall a,b,c\in X$ をとる。
$a\sim b,b\sim c$ とすると、$f(a)=f(b)$ かつ $f(b)=f(c)$
明らかに、$f(a)=f(c)$
よって、$a\sim c$ である。

$\Box$

例4

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times}$ に対して、関係 $R$ を $$ R=\{\left((a,b),(a',b')\right)\in (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times})\times (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times})\mid \exists t\in \mathbb{Z}^{\times}\ ;t(as'-a’s)=0\} $$ と定義すると、$R$ は $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times}$ 上の同値関係となる。

証明

$(1)$ 反射律
$\forall (a,s)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times}$ をとる。
$t=1$ とすると、$1・(as-as)=0$
よって、$(a,s)\sim(a,s)$

$(2)$ 対称律
$\forall (a,s),(a',s')\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times}$ をとる。 $a\sim b$ とすると、$t\in \mathbb{Z}^{\times}\ ;t(as'-a’s)=0$
すると、$-t(a’s-as')=0$
よって、$(a',s')\sim(a,s)$ である。

$(3)$ 推移律
$\forall (a_1,s_2),(a_2,s_2),(a_3,s_3)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\times}$ をとる。
$(a_1,s_2)\sim(a_2,s_2)$ かつ $(a_2,s_2)\sim(a_3,s_3)$ とすると、
$t_1,t_2\in \mathbb{Z}^{\times}\ ;t_1(a_1s_2-a_2s_1)=0$ かつ $t_2(a_2s_3-a_3s_2)=0$
すると、 $$ \begin{align} t_1t_2s_3(a_1s_2-a_2s_1)+t_1t_2s_1(a_2s_3-a_3s_2)&=t_1t_2s_2(a_1s_3-a_3s_1)\\ &=0 \end{align} $$ よって、$(a_1,s_1)\sim(a_3,s_3)$ である。

$\Box$

この時、$(a,s)$ を $\frac{a}{s}$ と表す。

例5

$X=\{$収束する実数列$\}$ に対して、関係 $R$ を $$ R=\{(\{a_n\},\{b_n\})\in X\times X\mid \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n\} $$ と定義すると、$R$ は $X$ 上の同値関係となる。

これは、高校の範囲で議論すれば自明である。
いまは、$\varepsilon-N$ 論法で証明はしない。

例6

$X$ を集合とする。$A,B\in \mathcal P(X)$ に対して、 $$ R=\{(A,B)\in \mathcal P(X)\times \mathcal P(X)\mid \exists f:A\to B\ ;f:\rm{bij.}\} $$ と定義すると、$R$ は $\mathcal P(X)$ 上の同値関係となる。

証明

$(1)$ 反射律
$\forall A\in \mathcal P(X)$ をとる。
$f=id_A$ とすると、$f$ は恒等写像となる。
よって、$A\sim A$

$(2)$ 対称律
$\forall A,B\in \mathcal P(X)$ をとる。 $A\sim a$ とすると、$\exists f:A\to B\ ;f:\rm{bij.}$
$f$ は全単射なので、逆写像 $f^{-1}:B\to A$ が存在して全単射である。 よって、$B\sim A$ である。

$(3)$ 推移律
$\forall A,B,C\in \mathcal P(X)$ をとる。
$A\sim b,B\sim c$ とすると、$\exists f:A\to B\ ;f:\rm{bij.}$ かつ $\exists g:B\to C\ ;g:\rm{bij.}$
合成写像 $(g\circ f):A\to C$ は全単射となる。
よって、$A\sim C$ である。

$\Box$

このように、たくさんの同値関係の例があるのがわかったと思う。
では、良い性質とはなんなのだろうか。それは同値関係があれば次のような定義をみたす集合をつくれるということである。

定義(直和分割)

$X$ を集合として、$\mathfrak{M}\subset \mathcal P(X)$ とする。
$\mathfrak{M}$ が $X$ の直和分割である
$ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{l} (1)\forall C\in \mathfrak{M}\ ,C\neq \varnothing\\ (2)\bigcup_{C\in \mathfrak{M}}=X \\ (3)\forall C,C'\in \mathfrak{M}\ ,C\neq C'\Rightarrow C\cap C'=\varnothing \end{array} \right. \end{align} $
(2)の条件を互いに素であるという。

イメージ的には下の図のようにいくつかのかたまりで $X$ が構成されているということである。

f:id:bananake-tai:20170420111657j:plain:w300

定義(代表元)

$X$ を集合として、$R$ を $X$ 上の同値関係とする。
$$ C(a)=\{x\in X\mid a\sim x\} $$ を $a$ の同値類といい、$a$ を $C(a)$ の代表元という。

さて、次の命題を証明する。

命題1

$X$ を集合として、$R$ を $X$ 上の同値関係とする。
このとき、次が成立する。
$(1)\ \forall a\in X\ ,a\in C(a)$
$(2)\ \forall a,b\in X\ ,a\sim b\Leftrightarrow C(a)=C(b)$
$(3)\ \forall a,b\in X\ ,C(a)\neq C'(b)\Rightarrow C(a)\cap C'(b)=\varnothing$

証明

$\underline{(1)}$
$\forall a\in X$ をとる。
反射律より、$a\sim a$ なので、$a\in C(a)$ である。

$\Box$

$\underline{(2)}$
$\forall a,b\in X$ に対して、$a\sim b$ とする。
$\forall x\in C(a)$ をとると、$a\sim x$ である。
$a\sim b$ なので、対称律より、$b\sim a$ である。
推移律より、$b\sim x$ なので、$x\in C(b)$
逆の包含関係も同様に成立する。
よって、C(a)=C'(b)

$\Box$

$\underline{(3)}$ $\forall a,b\in X$ に対して、$C(a)\neq C'(b)$ とする。
もし、$\exists x\in X\ ;x\in C(a)\cap C'(b)$ とすると、$a\sim x$ かつ $b\sim x$ なので、$a\sim b$ である。
すると、(2)より、$C(a)=C'(b)$ となるが、これは矛盾。
よって、$C(a)\cap C'(b)=\varnothing$

$\Box$

$X$ を集合として、$R$ を $X$ 上の同値関係とする。
$\mathfrak{M}=\{C(a)\mid a\in X\}$ と定義する。
このとき、$\mathfrak{M}$ は $X$ の直和分解である。

証明

命題1.1より、直和分割の定義の(1),(2)を満たす。
命題1.3より、直和分割の定義の(3)を満たす。

$\Box$

これが、なんで良い性質なのかというと、似たものを同じ集まりとして扱えるからである。
次に定義する商集合という概念が生み出される。

定義(商集合)

$X$ を集合として、$R$ を $X$ 上の同値関係とする。
$$ X/{\sim}=\{C(a)\mid a\in X\} $$ を商集合という。

つまり、商集合とは同値類全体の集合である。
このような分類をすると、たとえば、例2での商集合は以下の図のイメージである。

f:id:bananake-tai:20170420121714j:plain:w300

つまり、線で区切ってあるのをまとめて1つの元と考えているわけである。

例4での商集合は以下の図のイメージである。

f:id:bananake-tai:20170420121722j:plain:w300

つまり、分数で約分して同じ数になるものは同じと考えているわけである。もっといえば、普段もちいている有理数ということである。

演習

  1. 次の主張は正しいか。
    対称律があれば、$x\sim y$とするとき、$y\sim x$ 。ここで推移律を用いると $x\sim x$ が導かれる。だから同値関係の定義で反射律は実は不要である。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 2004.
同値関係になぜ反射律が必要か - わさっき
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2014/equivalence.pdf