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bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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群の定義

今回は群についてかく。

とりあえず、群の定義をする。

定義(群)

$G$ を集合とする。
$G$ に対して、$2$ 項演算 $f:G\times G\to G$ が定まっているとする。 $f(a,b)=ab$ 書く。
$(G,f)$ が群である
$ \begin{align} \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{l} (1)\forall a,b,c\in G\ ,(ab)c=a(bc)\\ (2)\exists e\in G\ ;\forall a\in G\ ,ae=ea=a\\ (3)\forall a\in G\ ,\exists b\in G\ ;ab=ba=e \end{array} \right. \end{align} $
$e$ を単位元といい $1$ と表し、$b$ を 逆元といい $a^{-1}$ と表す。
また、(1)を結合法則、(2)を単位元の存在、(3)を逆元の存在という。

群の例についてあげる。

例1

$\mathbb{Z}^{\times}$ は積の演算に関して群である。

積は結合法則をみたし、単位元を $1$、$a$ の逆元を $-a$ とすればよい。

同様に、$\mathbb{Q}^{\times},\mathbb{R}^{\times},\mathbb{C}^{\times}$ に関しても、積に関して群をなす。

例2

$GL_{n}(\mathbb{R})=\{A\in M_{n}\mid \rm{det}A\neq 0\}$
とすると、$GL_n(\mathbb{R})$ は積に関して群となる。

行列の積は結合法則をみたし、単位元単位行列、また、行列式が $0$ でないので逆行列があるので、逆行列が逆元となる。

例3

$G=\{a,b\}$ とする。 $$ aa=a\\ ab=b\\ ba=b\\ bb=a\\ $$ と定義すると、$G$ は群になる。

$a$ が単位元で、$a,b$ の逆元は $a,b$ である。
この演算を以下のような表で表す。

a b
a a b
b b a

この表を乗法表という。

例4

$G=\{1,a,b,c,d,e\}$ とする。

1 a b c d e
1 1 a b c d e
a a b c d e 1
b b c d e 1 a
c c d e 1 a b
d d e 1 a b c
e e 1 a b c d

と定義すると、$G$ は群になる。

例5

$G=\{1,a,b,c,d,e\}$ とする。

1 a b c d e
1 1 a b c d e
a a 1 e d c b
b b d 1 e a c
c c e d 1 b a
d d b c a e 1
e e c a b 1 d

と定義すると、$G$ は群になる。

例6

$X$ を集合とする。
${\rm End}X=\{f:X\to X\mid f:bij.\}$ とすると、${\rm End}X$ は群になる。

単位元は、恒等写像で与えられ、逆元は逆写像で与えられる。 また、合成写像結合法則をみたすので、$F$ は群になる。

定義(可換群)

$G$ を群とする。
$G$ が可換群である $\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$ $\forall a,b\in G\ ,ab=ba$

例4は可換群となるが、例5は非可換群である。非可換群がつくれる最小の群の位数は6である。つまり、群の位数が6より小さいなら全て可換群になるということである。 これは、群論を勉強していけば証明できる。あと、群論のおもしろさとしては、位数が6の群は例4,5の形のみであるということも勉強していけば示せるようになる。

命題(簡約法則)

$G$ を群とする。
このとき、 $\forall a,b,c \in G\ ,ab=ac\Rightarrow a=c$ が成立する。

証明

$$ \begin{align} b&=1b\\ &=(a^{-1}a)b\\ &=a^{-1}(ab)\\ &=a^{-1}(ac)\\ &=(a^{-1}a)c\\ &=1c\\ &=c \end{align} $$

命題

群 $G$ の単位元は一意的である。

証明

$1,e\in G$ を単位元とする。
$1$ は単位元なので、 $$ 1e=e1=1 $$ また、$e$ も単位元なので、 $$ e1=1e=e $$ よって、$e=1$ となる。

逆元についても一意性はいえる。これは演習とする。

命題

$G$ を群とする。
$\forall a,b\in G\ ,(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

証明

$$ (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1 $$ 同様に、$(b^{-1}a^{-1})(ab)=1$ も成立する。

演習

  1. 群 $G$ の逆元は一意的であることを示せ。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
B.バウムスラグ, 訳 根本精司, 群論, マグロウヒル好学社, 昭和57.