bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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部分群

今回は部分群に関して書いていく。

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まずは、上記の演習の証明からする。

演習

  1. $G,G'$ を群として、$\phi:G\to G'$ を準同型とする。
    このとき、$\forall a\in G$ に対して、 $$ \phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1} $$ であることを示せ。
  2. $G,G'$ を群として、$\phi:G\to G'$ を同型とする。
    このとき、逆写像も同型であることを示せ。つまり、全単射の逆写像全単射なので、逆写像も準同型であることを示せ。

証明1

$\forall a\in G$ をとる。
$\phi(a^{-1})\phi(a)=\phi(a^{-1}a)=e'$
よって、右から $\phi(a)^{-1}$ をかけると、$\phi (a^{-1})=\phi(a)^{-1}$ となる。

$\Box$

証明2

$\forall x',y'\in G'$ をとる。
$\phi$ は準同型なので、 $$ \phi(\phi^{-1}(x'y'))=x'y'=\phi(\phi^{-1}(x'))\phi(\phi^{-1}(y'))=\phi(\phi^{-1}(x')\phi^{-1}(y')) $$ $\phi$ は単射なので、$\phi^{-1}(x'y')=\phi^{-1}(x')\phi^{-1}(y')$

$\Box$

また、この演習より新しい群の例をあげる

例(自己同型全体)

$G$ を群とする。
${\rm Aut}G=\{f:G\to G\mid f:isom.\}$ とすると、${\rm Aut}G$ は群になる。
つまり、$G$ から $G$ への同型写像全体は群になるということである。

ある、群が与えられたとき、その部分集合が群の演算により、群になることがある。

定義(部分群)

$(G,・)$ を群とする。
$H\subset G$ が ・に関して群になるとき、$H$ を $G$ の部分群といい、$H\leq G$ と表す。
また、$G\neq H$ のとき、$H<G$ と表す。

例をあげるまえに、次の命題を証明する。

命題

$G$ を群とする。
$H\subset G$ が $G$ の部分群である
$ \begin{align} {\Leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{l} (1)1_G\in H\\ (2)\forall x,y\in H\ ,xy\in H\\ (3)\forall x\in H\ ,x^{-1}\in H \end{array} \right. \end{align} $

証明

$(\Rightarrow)$
$H\subset G$ が $G$ の部分群であると仮定する。すなわち、次の $(G'0)\sim(G'3)$ が成立する。
$(G'0)f:H\times H\to H$ が定まっている。
$(G'1)\forall x,y,z\in H\ ,(xy)z=x(yz)$
$(G'2)\exists e\in H\ ;\forall x\in H\ ,xe=xa=a$
$(G'3)\forall x\in H\ ,\exists y\in H\ ;xy=yx=e$

$\underline{(1)}$
$(G'2)$ より $1_H1_H=1_H$ が $G$ の演算として成立する。
また、$(G'3)$ より $1_H$ の逆元が存在するので、$1_H^{-1}$ を左からかけると、$1_H=1_G$ となる。

$\underline{(2)}$
$(G'1)$ より自明である。

$\underline{(3)}$
$(G'3)$より、$\forall x\in H\ ,\exists y\in H\ ;xy=yx=1_H$ が$G$ の演算として成立する。
$1_H=1_G$ であったので、$y$ は $G$ での逆元でもあり、$y=x^{-1}$ である。

$(\Leftarrow)$
$\underline{(G'0)}$
$(1)$ より、$H\neq \varnothing$ であり、$(2)$ より、$H$ 上の演算が定まっている。

$\underline{(G'1)}$(結合法則)
$(G1)$ より、自明である。

$\underline{(G'2)}$(単位元の存在)
$(1)$ より、$1_G\in H$ である。
$(G2)$ より、$\forall x\in G\ ,x1_G=1_G=x$ が成立する。とくに、$x\in H$ なので、$1_G=1_H$ である。

$\underline{(G'3)}$(逆元の存在)
$(3)$ より、$\forall x\in H\ ,x^{-1}\in H$ なので、$(G3)$ より、$x^{-1}$ は $G$ の元として $xx^{-1}=x^{-1}x=1_G$ が成立する。
よって、$1_H=1_G$ なので、$x^{-1}$ は $H$ での逆元でもある。

$\Box$

証明のポイントは、 $(\Rightarrow)$ に関しては、$H$ でみたときの単位限や逆元が $G$ でみたときの単位限や逆元の概念と一致すること示し、 $(\Leftarrow)$ は $G$ でみたときの単位限や逆元が $H$ でみたときの単位限や逆元の概念と一致すること示すことである。

例1

$G$ を群とする。
常に、$1<{G},G\leq{G}$ であり、これらを自明な部分群という。

例2

通常の $+$ に関して、
$\mathbb{Z}<\mathbb{Q}<\mathbb{R}$
となる。

例3(特殊線形群

$SL_n({\mathbb{R}})=\{A\in GL_n({\mathbb{R}})\mid {\rm det}A=1\}$
と定義すると、$SL_n({\mathbb{R}})<GL_n({\mathbb{R}})$ となる。
$SL_n({\mathbb{R}})$ を特殊線形群という。

証明

$\underline{(1)}$
${\rm det}A=1$ なので、$I_n\in SL_n({\mathbb{R}})$

$\underline{(2)}$
$\forall A,B\in SL_n({\mathbb{R}})$ をとる。

$$ {\rm det}AB={\rm det}A\ {\rm det}B=1 $$ よって、$AB\in SL_n({\mathbb{R}})$

$\underline{(3)}$
$\forall A\in SL_n({\mathbb{R}})$ をとる。 $$ \begin{align} 1&={\rm det}I_n\\ &={\rm det}AA^{-1}\\ &={\rm det}A\ {\rm det}A^{-1} \end{align} $$ よって、$({\rm det}A)^{-1}={\rm det}A^{-1}=1$ なので、$({\rm det}A)^{-1}\in SL_n({\mathbb{R}})$

例4

$m\in \mathbb{Z}_{>0}$ を1つとる。
このとき、$m\mathbb{Z}< \mathbb{Z}$ である。

例5(直交群)

$O(n)=\{A\in GL_n{(\mathbb{R})}\mid ^tAA=I_n\}$
と定義すると、$O(n)<GL_n(\mathbb{R})$ となる。
$O(n)$ を直交群という。

例6

$\forall n\in \mathbb{Z}_{>0}$ に対して、
$\Omega_n=\{\omega\in\mathbb{C}\mid \omega^{n}=1\}$
と定義すると、$\Omega_n<\mathbb{C}$ となる。

例7

$G$ を群とする。
${\rm Aut}G<{\rm End}G$ である。

一般に、集合 $A,B$ 間の写像があったとき、その引き戻し(逆像)を考えると、$B$ のが保たれているということが多々ある。 そういう意味でも引き戻しという概念は重要なのである。

命題

$G,G'$ を群とし、$f:G\to G'$ を準同型とする。
このとき、 $$ H'<G'\Rightarrow f^{-1}(H')<G $$ が成立する。

証明

演習の同値条件を使い証明する。
$\forall x.y\in f^{-1}(H')$ をとる。
逆像の定義より、$f(x),f(y)\in H'$
仮定より、$f(x)^{-1}f(y)\in H'$
よって、

$$ f(x^{-1}y)=f(x^{-1})f(y)=f(x)^{-1}f(y) $$

である。
よって、$x^{-1}y\in f^{-1}(H')$ なので、$f^{-1}(H')<G$ である。

命題

$H,K<G$ とする。
このとき、$HK=\{hk\mid h\in H\ ,k\in K\}$ $$ HK<G\Leftrightarrow HK=KH $$ が成立する

証明

$\underline{(\Rightarrow)}$
$HK\subset KH$ を示す。
$\forall x\in HK$ をとる。
このとき、$\exists h\in H\ ;\exists k\in K\ ;x=hk$
また、仮定より、$x^{-1}\in HK$ なので、 $$ (hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH $$ よって、$HK\subset KH$

$HK\supset KH$ を示す。
$\forall x\in KH$ を示す。
このとき、$\exists k\in K\ ;\exists h\in H\ ;x=kh$
$H<G$ なので、$ek\in HK,he\in HK$
よって、 $$ kh=(ek)(he)\in HK $$ よって、$HK\supset KH$

$\underline{(\Leftarrow)}$
$\forall x,y\in HK$ とする。
このとき、$\exists h_1,h_2\in H\ ;\exists k_1,k_2\in K\ ;x=h_1k_1\ ,y=h_2k_2$
$$ \begin{align} x^{-1}y&=(h_1k_1)^{-1}(h_2k_2)\\ &=k_1^{-1}h_1^{-1}h_2k_2 \end{align} $$
仮定より、$\exists h'\in H\ ;h'=h_1^{-1}h_2$
よって、$x^{-1}y=k_1^{-1}h'k_2$ 仮定より、$\exists h\in H\ ;\exists k\in K\ ;k_1^{-1}h'=hk$
よって、$x^{-1}y=hkk_2\in HK$

$\Box$

演習

  1. $G$ を群とする。次を示せ。
    $H<G\Leftrightarrow\forall x,y\in H\ ,x^{-1}y\in H$
  2. 例5に関して、演習の1の同値条件を用いて部分群であることを証明せよ。
  3. $G$ を群とし、$H_1,\dots ,H_n<G$ とする。
    このとき、 $$ \bigcap_{i=1}^{n}H_i<G $$ である。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
森田康夫, 代数概論, 裳華房, 1987.
新妻 弘, 群・環・体 入門, 共立出版, 2016.
http://www2.math.cst.nihon-u.ac.jp/sasaki/wp/wp-content/uploads/2014/12/fa75a316529d0ac746d8f50958ba66ed.pdf