bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。

剰余群

前回、剰余類というのを考えた。

bananake-tai.hatenablog.com

今回は、剰余類がいつ群になるのかを考える。

命題

$N\lhd G$ とする。
$\forall g\in G, gN=Ng$ が成立する。

証明

$\forall x\in gN$ をとる。
$\exists n\in N; x=gn$
$N\lhd G$ なので、$gng^{-1}\in N$ である。
よって、$\exists n'\in N; gng^{-1}=n'$
よって、$x=gn=n'g\in Ng$ なので、$gN\subset Ng$
$Ng\subset gN$ も同様なので、$gN=Ng$

$\Box$

$G$ を群として、$N$ を $G$ の部分群とし剰余類 $G/N$。
剰余類にがいつ群となるのだろうか、まず群を考えるには2項演算を入れなければならない。
どのような、演算をいれるかだが、一番自然に考えれば、

$$ f:G/N\times G/N\to G/N\\ f(gN,hN)=(gh)N $$

と定めるのが良いだろう。もし、この写像がwell-defiendになるかどうかは後で考え、 もしなった場合に $G/N$ が上の演算で群となることを示す。

証明

$(1)$ 結合律
$g,h,k\in G$

$$ \begin{align} \left( (gN)(hN) \right)(kN)&=(ghN)(kN) \\ &=((gh)k)N \\ &=\left( g(hk) \right)N \\ &=(gN)(hkN) \\ &=(gN)\left( (hN)(kN) \right) \end{align} $$

$(2)$ 単位元
$g\in G$ $$ \begin{align} gN・N=gN・eN=geN=gN \end{align} $$

$(3)$ 逆元
$g\in G$ $$ \begin{align} gN・g^{-1}N=gg^{-1}N=H \end{align} $$

$\Box$

よって、群になることが分かった。
演算がwell-defiendになるかどうか確かめるためには、
$\forall g,h\in G$ に対し、$gNhN=gnhn'\ (n,n'\in N)$ による $N$ 剰余類と、$gh$ による $H$ の剰余類が一致すればよい。
もし、$G$ が可換群なら、$gnhn'=ghnn'\in ghN$ となり、well-defiendである。
$G$ が可換群という条件は結構きつい条件であるが、$G$ の可換性がなくとも、$nh=hn$ くらいの可換性があれば、well-defiendである。
この条件は、どこかでみたことがないだろうか、最初にやった命題で、$N$ が正規部分群なら、$Ng=gN$ である。
すなわち、$N$ が正規部分群なら、上の演算はwell-defiendであり、剰余類は群になる。
なので、剰余類を群にするために、正規部分群という概念があるといっても良いだろう。
上の演算により群となった剰余類を剰余群という。

命題

$\pi:G\to G/N$ を $\pi(g)=gN$ とすると $\pi$ は群の全射準同型である。

証明

全射は明らかである。
準同型であること、 $$ \begin{align} \pi(xy)&=xyN \\ &=(xN)(yN) \\ &=\pi(x)\pi(y) \end{align} $$

$\Box$

命題

指数が2の部分群は正規部分群である。

証明

$G$ を群とし、$H$ をその部分群で $|G:H|=2$ とする。
$\forall g\in G$ をとる。
$g\in G$ をとる。
$g\in H$ のとき、$gHg^{-1}=H$ なので、$H\lhd G$
$g\not\in H$ のとき。 $G=H\cup gH=H\cup Hg$ となる。
$H\cap gH=H\cap Hg=\varnothing$ なので、$gH=Hg$ である。
よって、$H\lhd G$ である。

$\Box$

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
新妻 弘, 群・環・体 入門, 共立出版, 2016.