bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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シローの定理(1)

シローの定理とは、有限群を調べるうえで重要な定理である。 シローの定理を示すのは結構大変で、いくつかの命題が必要となる。

定義(中心化群)

$H$ を 群 $G$ の部分群とする。
$Z_{G}(H)=\{g\in G\mid \forall h\in H\ ,gh=hg\}$
を $H$ の中心化群という。
$Z_{G}(G)$ を $Z(G)$ と表し、$G$ の中心という。

簡単なため省略するが、任意の中心化群は $G$ の部分群である。

定義

$G$ を群とする。 $x,y\in G$ に対し、$\exists g\in G,\ gxg^{-1}=y$ となるとき、$x$ と $y$ は共役であるという。
$x$ と共役である元の集合を $C(x)$ とかき、$x$ の共役類という。

次の命題は省略する。

命題

$G$ を群とする。
$$ x\sim y\Leftrightarrow \exists g\in G,\ gxg^{-1}=y $$ と定義すると、$\sim$ は $X$ 上の同値関係となる。

つまり、上の状況で $x$ の同値類と $x$ の共役類は同じである。

補足

$G$ の $G$ への共役による作用を考えると、$x$ の共役類と $x$ による $G$ の軌道は同じである。

補題

$G$ を有限群とする。
$$ C(x)=\{x\}\Leftrightarrow x\in Z(G) $$

証明

$$ \begin{align} C(x)=\{x \}&\Leftrightarrow \forall g\in G\ ,gxg^{-1}=x \\ &\Leftrightarrow \forall g\in G, gx=x\ g \\ &\Leftrightarrow x\in Z(G) \end{align} $$

$\Box$

系(類等式)

$G$ を有限群とする。
$|C(x_{s})|> 1$ とすると、 $$ |G|=|Z(G)|+\sum_{s}|C(x_{s})| $$

証明

$G$ を同値類の直和で表すと、 $$ |G|=\sum_{i}|C(x_{i})| $$

上の補題を使えば、系が成立する。

$\Box$

命題

$G$ を有限群とする。
$\forall H<G\ ,|G:H|\equiv 0 \mod p$
とすると、$Z(G)\equiv 0 \mod p$

証明

$G$ の類等式を

$$ |G|=|Z(G)|+\sum_{s}|C(x_{s})| $$

とする。 $C(x_{s})$ は $G$ の $G$ への共役による作用を考えたときの軌道でもあるので、

$$ |C(x_{s})|=|Orb(x_{s})|=|G:St(x_{s})| $$

よって、$|C(x_{s})| \equiv 0 \mod p$
また、仮定より、 $$ |G|=|G:{e}||{e}|=|G:{e}| \mod p $$

したがって、$|Z(G)|\equiv 0 \mod p$

$\Box$

ここで、位数に関する命題を1つ扱う。

命題

$G$ を群とする。
$a\in G$ とし、$ord(a)=$m とする。
$n\geq 1$ に対し、次が同値。
$$ a^{n}=1 \Leftrightarrow m\mid n $$

証明

$\underline{(\Rightarrow)}$ $n=mq$ とすると、 $$ a^{n}=a^{mq}=(a^{m})^{q}=1 $$

$\underline{(\Leftarrow)}$ $\exists q,r\in \,\mathbb{N}\ ;n=mq+r\ (0\leq r< m)$
とできる。
$$ a^{n}=a^{mq+r}=a^{r}=1 $$ $a^{r}=1$ だが、位数の最小性により、$r=0$
よって、$n=mq$ となり、$m\mid n$

$\Box$

命題

$G,G'$ を群とする。
$f:G\to G'$ を凖同型とし、$a\in G$ の位数を $n$ とすると、$f(a)$ の位数は $n$ の約数である。

証明

$$ f(a)^{n}=f(a^{n})=f(e)=e' $$

$\Box$

次は重要な定理である。

定理(Cauchy定理)

$G$ を有限群とし、$p$ を $|G|$ の素因数とする。
このとき、$G$ に位数 $p$ の元が存在する。

証明

$|G|=pm$ とする。
$(1)$ $m=1$ のとき $|G|=p>1 $ より、単位元以外の元 $a$ が存在する。
元の位数は群の位数なので、$a$ の位数は $1$ か $p$ であるが、 $a$ は単位元ではないので、$a$ の位数は $p$ である。

$(2)$
$|H|=p(m -1) $ なる $H<G$ に対して、定理の主張を満たすと仮定する。
$\exists H<G\ ;p \nmid |G:H|$ なら、$p\mid |H|$ なので、 帰納法の仮定より、$H$ は位数 $p$ の元を含む。

$\forall H<G\ ;p \mid |G:H|$ のとき、上の命題より、$p\mid Z(G)$ である。
$1\neq a\in Z(G)$ をとり、$ord(a)=l$ とする。

$p\mid l$ のとき、$ord(a^{l/p})=p$ である。

$p\nmid l$ のとき、$Z(G)$ はアーベル群なので、$H=<a>$ とすると、
$H \lhd G$ であり、$G/H$ は群となる。
$|G/H|=|pm|/|l|$ で $p\nmid l$ なので、$l\mid k$ である。
よって、$|G/H|\leq p(m -1)$ なので、帰納法の仮定より、 $\exists y\in G/H\ ;ord(y)=p$
$\pi: G\to G/H$ を自然な凖同型とする。
$\pi$ は全射なので、$\exists x\in G\ ;\pi(x)=y$
$ord(x)=n$ とすると、命題より、$p\mid n$ である。よって、$ord(x^{n/p})=p$

$\Box$

cauchyの定理の証明のポイントは、剰余群つくること、すわなち、正規部分群を作る部分である。
$G/H$ として剰余群としたが、$Z(G)/H$ として、同じ議論をしても問題ない。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
新妻 弘, 群・環・体 入門, 共立出版, 2016.
http://mathematics-pdf.com/pdf/sylow_thm.pdf