bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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位数15の群の分類

シローの定理を使って位数15の群を分類する。
その前に必要な命題を証明する。

命題

$H<G,N\lhd G$ とする。
このとき、$HN<G$ となる。

証明

$\forall x,y\in HN$ をとると、$\exists h,h'\in H\ ,n,n'\in N\ ;x=hn,y=h'n'$
$$ \begin{align} xy^{-1}&=hn(h'n')^{-1}\\ &=hnn'^{-1}h'^{-1}\\ &=hNh'^{-1}\\ &=hh'^{-1}N\in HN \end{align} $$
よって、$HN<G$

$\Box$

命題

$G$ を群、$H,K\lhd G$ で、$H\cap K=\{1_{G}\}$ 、$HK=G$ とする。
このとき、$G\cong H\times K$ とする。

命題

$f:H\times K\to G$ を $f(h,k)=hk$ と定義する。
$G=HK$ なので、$f$ はwell-defiendである。
定義より、$f$ は全射である。
$\forall (h,k)\in Ker(f)$ をとる。
$f(h,k)=hk=1$ なので、$h=k^{-1}\in H\cap K=\{1_{G}\}$
よって、$h=k=1$ なので、$Ker(f)=\{1_{H\times K}\}$ となり、$f$ は単射
$H\lhd G$ なので、$\forall k\in K\ ,khk^{-1}\in H$ である。
よって、$hkh^{-1}k^{-1}=h(kh^{-1}k^{-1})\in H$
同様に、$hkh^{-1}k^{-1}=(hkh^{-1})k^{-1}\in K$
よって、$hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K=\{1_{G}\}$ なので、$hk=kh$
よって、 $$ f(h,k)f(h',k')=hkh'k'=hh'kk'=f(hh',kk')=f\left((h,k)(h',k')\right) $$ となり、$f$ は凖同型となる。

$\Box$

これ以降、$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ を $C_{n}$ と書くことにする。

命題

位数15の群 $G$ は $C_{3}\times C_{5}$ に同型である。

証明

$|G|=3\times 5$ なので、$H\in Syl_{3}(G),K\in Syl_{5}(G)$ とする。
$\forall h\in H\ ,hHh^{-1}=H$ なので、$H\subset N_{G}(H)$
よって、$H<N_{G}(H)<G$ なので、$5=|G:H|=|G:N_{G}(H)||N_{G}(H):H|$
よって、$|G:N_{G}(H)|$ は $5$ か $1$ であるが、シローの定理より、$|G:N_{G}(H)|\equiv 1 \mod 3$
よって、$|G:N_{G}(H)|=1$ となるしかない。
すなわち、$H$ と共役なシロー$p$-部分群は $H$ のみである。これは、$H\lhd G$ を意味する。
同様に、$K\lhd G$
$H\cap K<H,K$ なので、$|H\cap K|$ は $|H|=3,|K|=5$ の約数である。
よって、$H\cap K=\{1\}$
$H,K\lhd G$ なので、$HK<G$ であり、$H,K<HK$ なので、$|HK|$ は $|H|=3,|K|=5$ の公倍数である。
よって、$|HK|\leq |G|$ より、$|HK|=15$
よって、$HK=G$ なので、命題より、$G\cong H\times K\cong C_{3}\times C_{5}$

$\Box$

この命題を応用すると、次の定理が成り立つ。

定理

$p,q\ (p>q)$ を素数とし、$p\not\equiv 1\mod q$ とする。
このとき、位数 $pq$ の群 $G$ は $C_{p}\times C_{q}$ に同型である。

証明

$|G|=p\times q$ なので、$H\in Syl_{p}(G),K\in Syl_{q}(G)$ とする。 $n_{p}=|G:N_{G}(H)|,n_{q}=|G:N_{G}(K)|$ とおく。
命題と同様に、$n_{p}\equiv 1 \mod p$ かつ $n_{p}\mid q$ なので、$n_{p}=1$
同様に、$n_{1}\equiv 1 \mod q$ かつ $n_{q}\mid p$ だが、$p\not\equiv 1\mod q$ なので、$n_{q}=1$
よって、$H,K\lhd G$
あとは、命題と同様の議論により、$G\cong C_{p}\times C_{q}$

$\Box$

$G$ を群とし、$|G|=35$ とすると、$7\not\equiv 1\mod 5$ なので、$G\cong C_{5}\times C_{7}$

$\Box$

定理(中国式剰余定理)

$m,n\in \mathbb{Z}_{>1}$ で $gcd(m,n)=1$ なら、$C_{mn}\cong C_{m}\times C_{n}$ となる。

証明

$f:C_{mn}\cong C_{m}\times C_{n}$ を $f([x]_{mn})=([x]_{m},[x]_{n})$ と定義する。

$(1)$ well-defined
$[x]_{mn}=[y]_{mn}$ とする。
$mn\mid x-y$ なので、$m\mid x-y$ かつ $n\mid x-y$ である。
よって、$[x]_{m}=[y]_{m}$ かつ $[x]_{n}=[y]_{n}$
よって、$([x]_{m},[x]_{n})=([y]_{m},[y]_{n})$

$(2)$ 凖同型 $$ \begin{align} f([x]_{mn}+[y]_{mn})&=f([x+y]_{mn})\\ &=([x+y]_{m},[x+y]_{n})\\ &=([x]_{m}+[y]_{m},[x]_{n}+[y]_{n})\\ &=([x]_{m},[x]_{n})+([y]_{m},[y]_{n})\\ &=f([x]_{mn})+f([y]_{mn}) \end{align} $$

$(3)$ 全射
$\forall ([x]_{m},[y]_{n})\in C_{m}\times C_{n}$ をとる。
$gcd(m,n)=1$ より、$\exists a,b\in Z\ ;am+bn=1$
$z=xbn+yam$ とおくと、$[z]_{m}=[xbn]_{m}=[x(1-am)]_{m}=[x]_{m}$
同様に、$[z]_{n}=[y]_{n}$
よって、$f([z]_{mn})=([z]_{m},[z]_{n})=([x]_{m},[y]_{n})$

$(4)$ 単射
$f([x]_{mn})=f([y]_{mn})$ とする。
$([x]_{m},[x]_{n})=([y]_{m},[y]_{n})$ なので、$[x]_{m}=[y]_{m}$ かつ $[x]_{n}=[y]_{n}$ である。
すなわち、$n\mid x-y$ かつ $m\mid x-y$ である。
$gcd(m,n)=1$ なので、$mn\mid x-y$
よって、$[x]_{mn}=[y]_{mn}$

$\Box$

この定理を使えば、位数15の群 と 位数35の群は、それぞれ、$C_{15}$ と $C_{35}$ に同型である。

間違いや、感想がありましたら、コメントをよろしくお願いいたします。

参考文献

雪江明彦, 代数学1, 日本評論社, 2015.
http://rikei-index.blue.coocan.jp/gunron/tyugokuzyouyo.html
http://mathematics-pdf.com/pdf/sylow_thm.pdf