bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

注意:スマホからのアクセスは、PC版でご覧してもらうとまく表示されます。

分離拡大

以下の記事の続きを書く。

bananake-tai.hatenablog.com

標数という概念を定義する。

定義(標数

$K$ を体とする。
$\exists n\in \mathbb{N}\ ;n・1=0$ なる最小の $n$ を $K$ の標数といい、$ch(K)$ と表す。
$\forall n\in \mathbb{N}\ ,n・1\neq 0$ なら、$ch(K)=0$ と表す。

$ck(\mathbb{Q})=0$
$ch(\mathbb{F}_{p})=p$

命題

体 $K$ の標数は $0$ か素数である。

証明

$\phi:\mathbb{Z}\to K$ を $\phi(n)=n・1$ と定義する。
$\phi$ は凖同型なので、凖同型定理より、$\mathbb{Z}/ker(\phi)\cong Im(\phi)$
$K$ は整域であるので、$Im(\phi)$ も整域である。
よって、$\mathbb{Z}/ker(\phi)$ は整域なので、$ker(\phi)$ は素イデアルである。
よって、$\mathbb{Z}/ker(\phi)$ は $(0)$ か $(p)$ であるので、$ck(K)$ は $O$ か 素数 $p$ である。

$\Box$

分離拡大について定義する。

定義

$K$ を体で、$\overline{K}$ を $K$ の代数閉包とする。
$(1)$ $f(x)\in K[x],a\in \overline{K}$ で、$f(x)$ が $\overline{K}$ で、$(x-a)^{2}\mid f(x)$ なるとき、$a$ を $f(x)$ の重根という。
$(2)$ $f(x)$ が $\overline{K}$ で重根を持たないとき、分離多項式という。
$(3)$ $a\in \overline{K}$ とし、$Irr(a,K)$ が分離多項式であるとき、$a$ は $K$ 上分離的といい、そうでないとき、非分離的であるという。
$(4)$ $L/K$ を代数拡大とし、$L$ の任意の元が $K$ 上分離的なら $L$ を $K$ の分離拡大、そうでなければ非分離拡大という。
$(5)$ $K$ の任意の代数拡大が $K$ の分離拡大となるなら、$K$ を完全体という。

最終的にはガロア拡大を定義するが、分離拡大かつ正規拡大ということになるのが大事である。
実は、$ch(K)=0$ なら完全体になるということを証明する。

命題

$K$ を体とし、$f(x)\in K[x], a\in\overline{K}$ とする。
$f(a)=0$ とするとき、次は同値。
$(1)$ $a$ は $f(x)$ の重根である。
$(2)$ $f'(a)=0$ である。

命題

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
仮定より、$\exists g(x)\in \overline{K}\ ;f(x)=(x-a)^{2}g(x)$ となる。
$f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^{2}g'(x)$ なので、$f'(a)=0$ となる。

$\underline{(2)\Rightarrow (1)}$
重根を持たないと仮定すると、$\exists g(x)\in \overline{K}\ ;f(x)=(x-a)g(x)$ かつ $g(a)\neq 0$
$f'(x)=g(x)+(x-a)g'(x)$ となり、$f(a)\neq 0$ である。

$\Box$

命題

$K$ を体とし、$f(x)\in K[x]$ なら次は同値である。
$(1)$ $f(x)$ は $\overline{K}$ で重根を持たない。
$(2)$ $f(x)$ と $f'(x)$ は互いに素である。

証明

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
もし、$\exists g(x)\in K[x]\ ;g(x)\mid f(x),f'(x)\ (degg(x)>0)$ とする。
$\exists a\in\overline{K}\ ;g(a)=0$ となるが、上の命題より重根をもつことになり、矛盾。

$\underline{(2)\Rightarrow (1)}$
もし、$f(x)$ が $a\in \overline{K}$ という重根をもつとすると、上の命題より、$f'(a)=0$ である。
よって、$(x-a)\mid f(x),f'(x)$ 互いに素であることに矛盾。

$\Box$

命題

$f(x)\in K[x]$ を $K$ 上既約な多項式とする。
このとき、次は同値。
$(1)$ $f(x)$ は $\overline{K}$ で重根をもつ。
$(2)$ $f'(x)=0$
$(3)$ $chK=p>0$ であり、$K$ 上既約な分離多項式 $g(x)$ と $n>0$ が存在して、$f(x)=g(x^{p^{n}})$ となる。

証明

$\underline{(1)\Rightarrow (2)}$
命題より、$f(x)$ と $f'(x)$ は互いに素ではない。
$f(x)$ は既約なので、$g(x)\mid f(x),f'(x)$ とすると、$f(x)=cg(x)$ となる。
よって、$f(x)\mid f'(x)$ なので、$f'(x)\neq 0$ とすると、$degf'(x)<degf(x)$ なので矛盾。

$\underline{(2)\Rightarrow (1)}$
自明。

$\underline{(2)\Rightarrow (3)}$
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ とおく。
$f'(x)=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}$ となる。
$f'(x)=0$ なので、$\forall i\in \mathbb{N}\ ,ia_{i}=0$
$a_{i}\neq 0$ なら $i=0$ となるしかないので、$ck=p>0$ で、$p\mid i$ となる。
よって、$n=pm$ とおくと、$f(x)=\sum_{i=1}^{m}a_{pi}x^{pi}$ となり、 $g(x)=\sum_{i=1}^{m}a_{pi}x^{i}$ とおくと、$f(x)=g(x^{p})$
$f(x)$ は既約なので、$g(x)$ も既約。
$g(x)$ が重根をもてば同様の議論により、$f(x)=h(x^{p^{2}})$ となる。
位数は有限なので、この操作は有限回で終わる。

$\underline{(3)\Rightarrow (2)}$
$f'(x)=g'(x^{p^{n}})p^{n}x^{p^{n}-1}=0$

$\Box$

上の命題から、$chK=0$ なら 既約多項式は重根をもたないので、$K$ は完全体ということになる。
つまり、代数体の任意の代数拡大は分離拡大となる。

参考文献

雪江明彦, 代数学2, 日本評論社, 2015.