bananake-tai’s diary

大学数学初学者のブログ

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準同型定理

今回は群論や環論でかなり重要である、準同型定理について書く。

定理

$G,H$ を群とする。
$\phi:G\to H:hom$
$N={\rm ker}(\phi)$ とおき、 $\pi:G\to G/N$ を自然な準同型とすると次が成り立つ。
$\exists 1 \psi:A/K\to Im(\phi)\ ;\phi=\psi\circ\pi$
さらに、$\psi$ は同型写像になる。

証明

$(1)$ 一意性
もし、$\exists\psi:G/N\to Im(\phi):hom,\ \phi=\psi\circ\pi$ とする。 $\forall g\in G$ をとる。

$$ \psi(gN)=\psi\circ\pi(g)=\psi(\pi(g))=\phi(g) $$

なので、$\psi$ は一意的である。

$(2)$ 存在性
$\psi(gN)=\phi(g)$ と定義すると、$\psi$ はwell-defined
$\forall n\in N$ をとる。

$$ \psi(gn)=\phi(gn)=\phi(g)\phi(n)=\phi(g) $$

よって、$\phi$ は代表元の取り方いよらない。
よって、$\phi$ の定義より、$\phi=\psi\circ\pi$

$(3)$ 準同型
$\forall g,h\in G$ をとる。

$$ \begin{align} \psi(gNhN)&=\phi(ghN)\\ &=\phi(gh)\\ &=\phi(g)\phi(h)\\ &=\psi(gN)\psi(hN)\\ \end{align} $$

$(4)$ 単射 $\forall g\in G$ をとる。
$\psi(gN)=1$ とすると、$\phi(g)=1$
よって、$g/in N$ なので、$gN=N$
すなわち、${\rm ker}(\psi)=\{N\}$ なので、$\psi$ は単射である。

$(5)$ 全射
$g\in {\rm Im}(\phi)$ をとる。
$\exists x\in G:\phi(g)=x$
よって、$\phi(gN)=\phi(g)=x$

$\Box$

これが、群に対しての準同型定理である。

$\phi:GL_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{\times}$ を $\phi(A)=detA$ と定義する。
すると、$\phi$ は全射準同型で、$Ker(\phi)=SL_{n}(\mathbb{R})$ となり、準同型定理より、$GL_{n}(\mathbb{R})/SL_{n}(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^{\times}$

定理(部分群の対応)

$G$ を群、$N\lhd G$ とし、$\pi:G\to G/N$ を自然な準同型とする。
$X=\{H\mid H<G/N\}\ ,Y=\{K<G\mid N\subset K\}$ とする。
$\phi:X\to Y$ を $\phi(H)=\pi^{-1}(H)$ と定義し、$\psi:Y\to X$ を $\psi(K)=\pi(K)$ と定義すると、
$\phi\ ,\psi$ は互いの逆写像である。

証明

$(1)$ well-defined

$\pi$ は準同型で、$H<G/N$ なので、$\pi^{-1}(H)<G$ となるので、$\phi$ は well-defined である。

$K<G$ で、$N\subset K$ なので、$N\lhd K$ である。
$g\in K$ として、$gN\in K/N$ とすると、もちろん、$gN\in G/N$ となるので、$K/N\subset G/N$ となる。
特に、$K/N<G/N$ となる。
よって、$\pi(K)=K/N$ なので、$\pi(K)\in X$
よって、$\psi$ は well-defined である。

$(2)$ $(\psi\circ\phi)(H)=H$

$H\in X$ とする。
$(\psi\circ\phi)(H)=\pi(\pi^{-1}(H))$ であり、$\pi$ は全射なので、$(\psi\circ\phi)(H)=H$

$(3)$ $(\phi\circ\psi)(K)=K$

$K\in Y$ とする。
$(\phi\circ\psi)(K)=\pi^{-1}(\pi(K))$ である。

$K\subset \pi^{-1}(\pi(K))$ は一般に成立するので、$K\supset \pi^{-1}(\pi(K))$ を示す。

$$ \begin{align} g\in \pi^{-1}(\pi(K))&\Rightarrow \pi(g)\in \pi(K) \\ &\Rightarrow \exists h\in K\ ;\pi(g)=\pi(h) \\ &\Rightarrow gN=hN \\ &\Rightarrow \exists n\in N\ ;g=hn \end{align} $$

$N\subset K$ で、$n\in K$ なので、$g\in K$
よって、$\pi^{-1}(\pi(K))\subset K$ なので、$(\phi\circ\psi)(K)=K$

$\Box$

定理(第三同型定理)

$G$ を群とし、$N,N'\lhd G$ で、$H\subset H'$ とする。
このとき、 $$ (G/N)/(N'/N)\cong (G/N') $$ が成立する。

証明

$\phi:G/N\to G/N'$ を $\phi(xN)=nN'$ と定義する。
$\phi$ が well-defined であることを示す。
$\forall x,y\in G$ をとり、 $xN=yN$ とする。
$$ \begin{align} xN=yN&\Rightarrow x\in yN \\ &\Rightarrow xy^{-1}\in N \\ \end{align} $$ $N\subset N' $ なので、$xy^{-1}\in N'$
よって、$xN'=yN'$ なので、well-defined

明らかに、$Ker(\phi)=N'/N$ なので、準同型定理より、$(G/N)/(N'/N)\cong (G/N')$

$\Box$

命題

$A$ を環とする。
$I$ を $A$ のイデアルとする。
$I$ は加法に関し、$A$ の正規部分群となるので、$A/I$ は群となる。
$$ f:A/I\times A/I\to A/I\\ f(x+I,y+I)=xy+I $$ と定義すると、$f$ は well-defined で $A/I$ は環となる。

証明

$(x+I,y+I)=(x'+I,y'+I)\Leftarrow (xyI=x'y'I)$ を示す。
すなわち、$x'\in x+I$ かつ $y'\in y+I\Leftarrow x'y'\in xy+I$ を示す。

$\exists a,b\in I\ ;x'=x+a,y'=y+b$
$x'y'=(x+a)(y+b)=xy+xb+ya+ab$ となる。
$xb,ya,ab\in I$ なので、$x'y'\in xy+I$

$\Box$

定理

$A,B$ を環とする。
$\phi:A\to B:hom$
$I={\rm ker}(\phi)$ とおき、 $\pi:A\to A/I$ を自然な準同型とすると次が成り立つ。
$\exists 1 \psi:A/I\to Im(\phi)\ ;\phi=\psi\circ\pi$
さらに、$\psi$ は同型写像になる。

証明

準同型を示せばよい。
$$ \begin{align} \psi(x+I)\psi(y+I)&=\psi(\pi(x))\psi(\pi(y))\\ &=\phi(x)\phi(y)\\ &=\phi(xy)\\ &=\psi(\pi(xy))\\ &=\psi(xy+I) \end{align} $$

$\Box$

定理(イデアルの対応)

$A$ を群、$I\subset A$ を真のイデアルとし、$\pi:A\to A/I$ を自然な準同型とする。
$X=\{K\mid K<A/I\}\ ,Y=\{J<A\mid I\subset J\}$ とする。
$\phi:X\to Y$ を $\phi(K)=\pi^{-1}(K)$ と定義し、$\psi:Y\to X$ を $\psi(J)=\pi(J)$ と定義すると、
$\phi\ ,\psi$ は互いの逆写像である。

証明

部分群の対応より、$\phi\ ,\psi$ が well-defiend であることを示せばよい。

$(1)$ $\phi$ well-defined
つまり、$\phi(K)=\pi^{-1}(K)$ がイデアルかどうかであるが、イデアルの引き戻しはイデアルなので、成り立つ。

$(2)$ $\psi$ well-defined
つまり、$\psi(J)=\pi(J)$ がイデアルかどうかである。
$\pi(J)$ は $A/I$ の部分群であったので、 $$ a+I\in A/I\ ,x+I\in \pi(J)\Rightarrow (a+I)(x+I)\in \pi(J) $$ を示せばよい。
$(a+I)(x+I)=ax+I$ であり、$J$ は $A$ のイデアルなので、$ax\in J$ である。
よって、$ax+I\in \pi(J)$

$\Box$

$\phi:Z[\sqrt{n}]\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を $\phi(a+b\sqrt{n})=a \mod n$ と定義する。
このとき、$\phi$ は全射準同型で、$Ker(\phi)=(\sqrt{n})$ となる。
$(\sqrt{n})\subset Ker(\phi)$ は自明である。
$a+b\sqrt{n}\in Ker(\phi)$ とすると、$a\equiv 0 \mod 0$ なので、$a=a'n$ と表せる。
よって、$a+b\sqrt{n}=(a'\sqrt{n}+b)\sqrt{n}\in (\sqrt{n})$
よって、準同型定理より、$Z[\sqrt{n}]/(\sqrt{n})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\Box$

$\phi:\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z[}\sqrt{2}]$ を $\phi(f(x))=f(\sqrt{n})$ と定義する。
このとき、$\phi$ は全射準同型で、$Ker(\phi)=(x^{2}-2)$ となる。
$(x^{2}-2)\subset Ker(\phi)$ は自明である。
$f\in Ker(\phi)$ とし、$f(x)=q(x)(x^{2}-2)+ax+b$ となる。
$f(\sqrt{2})=a\sqrt{2}+b=0$ より、$a=b=0$
よって、$f\in (x^{2}-2)$
よって、準同型定理より、$\mathbb{Z}[x]/(x^{2}-2)\cong \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

$\Box$

次が環に対する第三同型定理である。

定理(第三同型定理)

$A$ を環とし、$I\subset J$ を $A$ のイデアルとする。
このとき、 $$ (A/I)/(J/I)\cong (A/J) $$ が成立する。

証明は、群に対する第三同型定理と同じなので、省略する。

定理

$\phi:A\to B$ を環の全射準同型とする。
$I\subset A$ をイデアルで、$Ker(\phi)\subset I$とする。
イデアルの対応原理より、$I'=\phi(I)$ は $B$ のイデアルとなり、$A/I\cong B/I'$ となる。

証明

$\pi:B\to B/I'$ を自然な準同型とする。
$f:A\to B/I'$ を $f=\pi\circ\phi$ と定義すると、$f$ は全射準同型となる。
$Ker(f)=I$ となることを示す。
$\forall x\in A$ をとる。
$f(x)=0\Leftrightarrow \pi(\phi(x))=0$ で、$Ker(\pi)=I'$ なので、$\phi(x)\in I'$
すなわち、$x\in \phi^{-1}(I')=I$
よって、準同型定理より、$A/I\cong B/I'$ となる。

$\Box$

$Z[i]/(i-2)\cong \mathbb{F}_{5}$ を示す。

証明

$\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}[i]$ を $x\mapsto i$ とすることにより、$(x^{2}+1)=I$ とおくと、$\mathbb{Z}[x]/I\cong \mathbb{Z}[i]$ となる。
$\phi:\mathbb{Z}[x]/I\to \mathbb{Z}[i]$ とすると、$x-2+I\mapsto i-2$ なので、
$\phi(\left(x-2+I\right))=(\phi(x-2+I))=(i-2)$ となる。
$J=(x^{2}+1,x-2)$ とおくと、$(x-2+I)=J/I$ となる。
$Ker(\phi)=I\subset (x-2+I)$ なので、定理より、$(\mathbb{Z}[x]/I)(J/I)\cong \mathbb{Z}[i]/(i-2)$
また、第3同型定理より、$\mathbb{Z}[x]/J\cong (\mathbb{Z}[x]/I)(J/I)\cong \mathbb{Z}[i]/(i-2)$

$\psi:Z[x]\to \mathbb{Z}$ を $x\mapsto 2$ とすることにより、$(x-4)=I'$ とおくと、$\mathbb{Z}[x]/I'\cong \mathbb{Z}$ となる。
$x^{2}+1+I'\mapsto 5$ なので、$\psi(\left(x^{2}+1+I\right))=(\psi(x^{2}+1+I'))=(5)$ となる。
あとは上と同様に、$\mathbb{Z}[x]/J\cong (\mathbb{Z}[x]/I')(J/I')\cong \mathbb{F}_{5}$
よって、$\mathbb{Z}[i]/(i-2)\cong \mathbb{F}_{5}$

$\Box$

$\forall a,b\in \mathbb{Q}$ をとる。
$\phi:\mathbb{Q}[x,y]\to \mathbb{Q}$ を $\phi(f(x,y))=f(a,b)$ と定義する。
このとき、$\phi$ は全射準同型で、$Ker(\phi)=(x-a.y-b)$ となる。
$(x-a,y-b)\subset Ker(\phi)$ は自明である。
$f\in Ker(\phi)$ とし、$g(x,y)=f(x+a.y+b)$ とする。
$\exists r(x,y),q(x,y)\in \mathbb{Q}\ ;g(x,y)=r(x,y)x+q(x,y)y+c$ とできる。
さらに、$r(x-a,y-b)=h(x,y),q(x-a,y-b)=k(x,y)$ とおくと、 $$ \begin{align} f(x,y)&=g(x-a,y-b)\\ &=r(x-a,y-b)(x-a)+q(x-a,y-b)(y-b)\\ &=h(x,y)(x-a)+k(x,y)(y-b)+c \end{align} $$
$f(a,b)=c$ だが、$f\in Ker(\phi)$ なので、$c=0$
よって、$f(x,y)=h(x,y)(x-a)+k(x,y)(y-b)$ となり、$Ker(\phi)\subset (x-a,y-b)$
よって、準同型定理より、$\mathbb{Q}[x,y]/(x-a.y-b)\cong \mathbb{Q}$

$\Box$

より、一般に、$A$ を環とし、$a_{1}\dots a_{n}\in A$ とすると、 $$ A[x_{1},\dots ,x_{n}]/(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\cong A $$ が言える。
$\phi:A[x_{1},\dots ,x_{n}]\to A$ を $\phi(f(x_{1},\dots ,x_{n}))=f(a_{1}\dots a_{n})$ と定義する。
$x=(x_{1},\dots ,x_{n})\ ,a=(a_{1}\dots a_{n})$ とおく。
$(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\subset ker(\phi)$ は自明。
$f(x)\in Ker(\phi)$ をとる。
$A_{1}=A[x_{2},\dots ,x_{n}],\cdots ,A_{n-1}=A[x_{n}]$ とおく。
$A[x_{1},\dots ,x_{n}]=A_{1}[x_{1}]$ とみなせるので、多項式の割り算より、
$\exists q_{1}(x_{1})\in A_{1}[x_{1}]\ ;r_{1}(x_{2},\dots ,x_{n})\in A_{1}\ ;f(x)=q_{1}(x_{1})(x_{1}-a_{1})+r_{1}(x_{2},\dots ,x_{n})$
同様に、
$\exists q_{2}(x_{2})\in A_{2}[x_{2}]\ ;r_{2}(x_{3},\dots ,x_{n})\in A_{2}\ ;r(x_{2},\dots ,x_{n})=q_{2}(x_{2})(x_{2}-a_{2})+r_{2}(x_{3},\dots ,x_{n})$ 同様に、続けると、
$\exists q_{n}(x_{n})\in A[x_{n}]\ ;c\in A\ ;r(x_{n})=q_{n}(x_{n})(x_{n}-a_{n})+c$
よって、 $$ f(x)=q_{1}(x_{1})(x_{1}-a_{1})+q_{2}(x_{2})(x_{2}-a_{2})+\cdots +q_{n}(x_{n})(x_{n}-a_{n})+c $$ $f(a)=0$ なので、$c=0$ となり、$f(x)\in (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})$ である。

$\Box$

$\phi:\mathbb{C}[x,y]\to \mathbb{C}[t]$ を $\phi(f(x,y))=f(t^{3},t^{4})$ と定義する。
$Ker(\phi)=(x^{4}-y^{3})$ を示す。
$(x^{4}-y^{3})\subset Ker(\phi)$ は自明。
$f\in Ker(\phi)$ をとる。
$$ f(x,y)=g(x,y)(x^{4}-y^{3})+h_{1}(y)x^{3}+h_{2}(y)x^{2}+h_{3}(y)x+h_{4}(y) $$ と表せるので、 $$ f(t^{3},t^{4})=h_{1}(t^{4})t^{9}+h_{2}(t^{4})t^{6}+h_{3}(t^{4})t^{3}+h_{4}(t^{4})=0 $$ となる。
$h_{2}(t^{4})t^{6}$ と $h_{4}(t^{4})$ はすべての項が偶数次であり、
$h_{1}(t^{4})t^{9}$ と $h_{3}(t^{4})t^{3}$ はすべての項が奇数次なので、
$h_{2}(t^{4})t^{6}+h_{4}(t^{4})=0$ かつ $h_{1}(t^{4})t^{9}+h_{3}(t^{4})t^{3}=0$ である。
よって、$h_{1}(x)=h_{2}(x)=h_{3}(x)=h_{4}(x)=0$ となるしかない。
よって、$f\in (x^{4}-y^{3})$ であり、準同型定理より、$\mathbb{C}[x,y]/(x^{4}-y^{3})\cong \mathbb{C}[t^{3},t^{4}]$

$\Box$

参考文献

雪江明彦, 代数学2, 日本評論社, 2015.
Michael Artin, Algebra-Second Edition, Person, 2015